Теорема 1(интегральный признак Коши). Пусть - ряд с неотрицательными членами и существует непрерывная, невозрастающая, неотрицательная функция y=f(x), определенная на такая, что f(n)=an для всех nÎN. Тогда ряд и несобственный интеграл первого рода сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство.Сходимость интеграла функции f, удовлетворяющей условиям теоремы, равносильна существованию предела последовательности, т.е. сходимости ряда
для которого интеграл является (п-1)-ой частичной суммой. Осталось показать, что ряды и сходятся или расходятся одновременно.
В силу монотонности f для любого nÎN при всех xÎ[n;n+1] выполняются неравенства an+1=f(n+1)£f(x)£f(n)=an . Следовательно,
для любого nÎN .
Если сходится ряд , то, по признаку сравнения, сходится и ряд с меньшими членами .
Обратно: если сходится ряд , то, по признаку сравнения, сходится и ряд с меньшими членами . Следовательно, по теореме 2.2, сходится и ряд . Теорема доказана.
Замечание 1.С помощью интегрального признака несложно проверить, что числовой ряд сходится, если а>1, и расходится, если a£1. Ряд называется гармоническим рядом, а ряд с произвольным aÎR называется обобщенным гармоническим рядом.
4. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов
Исследование рядов с членами произвольных знаков представляет более трудную задачу, однако в двух случаях есть удобные признаки: для знакочередующихся рядов - теорема Лейбница; для абсолютно сходящихся рядов применим любой признак исследования рядов с неотрицательными членами.
Определение 1.Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних члена имеют противоположные знаки, т.е. ряд имеет вид или , где an>0 для каждого nÎN .
Теорема 1(Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если:
1) (an) - невозрастающая последовательность;
2) при .
При этом модуль суммы знакочередующегося ряда не превосходит модуля его первого члена, т.е. |S|£ a1 .
Доказательство.Пусть ряд имеет вид . Рассмотрим последовательность . Она является неубывающей, так как для любого nÎN выполняется условие , и ограниченной сверху, так как для любого nÎN выполняется условие . Следовательно, последовательность сходится. Пусть . Тогда . Отсюда получаем, что последовательность сходится к S, т.е. ряд сходится и имеет сумму S.
Заметим также, что , следовательно, для любого nÎN выполняется условие . Аналогичными рассуждениями доказывается, что , следовательно, . Если же ряд имеет вид , то . Следовательно, в общем случае выполняется неравенство . После предельного перехода при получаем , что и требовалось доказать.
Следствие 1.Модуль остатка знакочередующегося ряда типа Лейбница не превосходит модуля его первого члена, т.е. .
Определение 2.Если сходится ряд , то рядназывается абсолютно сходящимся.
Теорема 2.Если сходится ряд , то ряд также сходится.
Например, ряд является абсолютно сходящимися, так как ряд сходится по признаку сравнения, ибо для любого nÎN, а ряд сходится (a=2>1) .
Абсолютно сходящиеся ряды имеют ряд важных свойств, которыми обладают конечные суммы чисел:
- слагаемые можно переставлять местами;
- слагаемые можно группировать разными способами;
- суммы рядов можно перемножать.
Определение 3.Ряд называется перестановкой ряда , если существует биекция такая, что для любого nÎN.
Теорема 3.Если ряд абсолютно сходится, то сходится, и притом абсолютно, любая перестановка данного ряда, и их суммы совпадают.
Определение 4.Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся .
Ряд является условно сходящимся. Действительно, ряд сходится (по теореме Лейбница), а ряд расходится.
Теорема 4(Римана). Если числовой ряд условно сходится, то для любого существует такой числовой ряд , полученный перестановкой членов ряда , что ряд сходится и его сумма равна C .