Условия разложения функции в степенной ряд. Ряд Маклорена
Условия разложения функции в степенной ряд. Ряд Маклорена - раздел Математика, Конспект лекций по дисциплине: Элементы высшей математики Нахождение Суммы S(X) Данного Степенного Ряда ...
Нахождение суммы S(x) данного степенного ряда называется суммированием степенного ряда.
Нахождение для данной функции f(x) степенного ряда , сумма которого есть функция f(x), называется разложением функции f(x) в степенной ряд.
Теорема 1.Если функция f(x) разлагается в степенной ряд, то это разложение единственно.
Доказательство.Пусть в некотором интервале функция f(x) является суммой степенного ряда , т.е.
Итак, для каждого nÎN коэффициенты ряда удовлетворяют условию
.
Таким образом, если функция разлагается на некотором интервале в степенной ряд, то это возможно единственным способом, именно:
.
Теорема доказана.
Из теоремы ясно, что разложить в степенной ряд в окрестности точки x=0 можно только функцию, имеющую производную любого порядка nÎN.
Определение 1.Пусть функция f(x) имеет в точке x=0 производные любого порядка. Рядом Маклорена функции f(x)называется степенной ряд .
Замечание.Подчеркнем, что теорема 1 является только необходимым условием разложимости функции в степенной ряд. Существуют функции, которые не являются суммами своих рядов Маклорена.
Теорема 2.Пусть функция f(x) имеет производные любого порядка на интервале и все ее производные ограничены в совокупности, т.е. существует положительное число M>0 такое, что для каждого натурального числа nÎN и для каждого выполняется условие .
Тогда сумма ряда Маклорена функции f(x) на интервале есть функция f(x) (без доказательства).
Замечание.На практике применяется несколько способов разложения функции в степенной ряд:
1) для функции f записать ряд Маклорена и доказать его сходимость к функции f ;
2) используя известные разложения и применяя линейные операции над рядами и способ замены переменной;
3) используя известные разложения и операции почленного интегрирования и почленного дифференцирования степенных рядов.
3. Разложение в ряд Маклорена функций y=ex, y=ln(x+1), y=(1+x)n.
, где xÎR.
Заметим, что для любого nÎN и для любого выполняется неравенство , следовательно, по теореме 2, на любом интервале (а, значит, на всей числовой прямой) функция ex равна сумме своего ряда Маклорена.
, где xÎ(-1;1] .
На интервале (-1;1) удобно применить известное разложение и применить теорему о почленном интегрировании степенного ряда: . Итак, для любого выполняется .
Можно доказать также, что ряд в точке x=1 имеет сумму ln 2.
, где xÎ(-1;1) .
Последний ряд называется биномиальным рядом. Известно, что этот ряд сходится в точке при , а в точке абсолютно при .
Составим ряд Маклорена функции y=(1+x)a :
y¢=a×(1+x)a-1
y¢(0)=a
y¢¢=a×(a-1)×(1+x)a-2
y¢¢(0)=a×(a-1)
y¢¢¢=a×(a-1)×(a-2)×(1+x)a-3
y¢¢¢(0)=a×(a-1)×(a-2)
…
…
y(n)=a×(a-1)×(a-2)×…×(a-n+1)×(1+x)a-n
y(n)(0)=a×(a-1)×(a-2)×…×(a-n+1)
…
…
Можно доказать, что ряд 1+имеет суммой функцию y=(1+x)a , но это является непростой задачей.
Определители квадратных матриц
Определение 1.Определителем матрицы 2-го порядка (определителем 2-го порядка) называется число, которо
Свойства определителей
Позволяют существенно упростить вычисление определителя, особенно для определителей высоких порядков. При этом основной целью преобразований является получение определителя, в котором как можно бол
По элементам строки или столбца
Определение 1.Минором Mij элемента aij матрицы n-го порядка A называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы
Теорема о ранге матрицы
Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.
Пусть дана матрица . Для
Виды систем линейных уравнений
Определение 1.Системой n линейных уравнений с n переменными называется система вида:
,
где a
Понятие о векторном пространстве и его базисе
Определение 1.Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать параллельно самому себе).
Основные виды уравнения прямой на плоскости
Определение 1.Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки
Угол между прямыми
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y=к1х+b1 и y=к2х+b2, т.е. k1=tg
ЛЕКЦИЯ 5
Тема 5: Предел и непрерывность
ПЛАН
1. Предел последовательности при n®¥.
2. Предел функции при x®¥.
3. Предел функции в т
Предел функции в точке
Определение 1.Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x=x0, если значения функции f(x) приближаются (с
Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Среди всех последовательностей, имеющих предел, выделяют последовательности, предел которых равен 0. Последовательность называют бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если её предел
ЛЕКЦИЯ 6
Тема 5: Предел и непрерывность
Тема 6: Производная
ПЛАН
1. Второй замечательный предел, число е.
2. Свойства функций, не
Основные правила дифференцирования функций одной переменной
К правилам дифференцирования обычно относят правила, позволяющие по определенному алгоритму найти производную любой элементарной функции. Для этого достаточно знать таблицу формул производных основ
Теорема Ролля и Лагранжа и их геометрический смысл
Теоремы этого параграфа являются основным средством, с помощью которого локальное понятие производной оказывается эффективным орудием при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельной
Правило Лопиталя
При вычислении пределов функций для раскрытия неопределенностей вида и при стремлен
Достаточные признаки монотонности функции
Для некоторых функций исследование на монотонность и экстремумы можно провести по определению или используя свойства неравенств. Однако в большинстве случаев самым эффективным средством становится
Асимптоты графика функции
Определение 1.Асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при д
Нахождение эмпирических формул
1) установление вида зависимости y=f(x) (линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая);
2) определение неизвестных параметров функции.
На
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Очень многие задачи различных наук (математики, физики, экономики и других наук) приводят к необходимости вычисления для данной функции на некотором отрезке предела сумм специального вида. Задача о
Свойства определенного интеграла
Перечислим некоторые основные свойства определенного интеграла:
1) если функция f интегрируема на и
Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения
Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным и дифференциальным исчис
С помощью степенных рядов
Разложение функций в степенные ряды с успехом применяется для решения различных задач, например:
- вычисление сумм числовых рядов;
- вычисление значений аналитических функций;
Методические указания к практическим занятиям
1 Решение задач должно быть итогом усвоения теоретического материала, при этом предварительно следует сделать анализ уже решённых задач, а затем самостоятельно решать задачи.
2. Каждый эта
МАТЕМАТИКА
Специальность: 08050062 и название специальности
Формы обучения (очная)
Тула-20011
Методичес
Новости и инфо для студентов