Условия разложения функции в степенной ряд. Ряд Маклорена

Нахождение суммы S(x) данного степенного ряда называется суммированием степенного ряда.

Нахождение для данной функции f(x) степенного ряда , сумма которого есть функция f(x), называется разложением функции f(x) в степенной ряд.

Теорема 1.Если функция f(x) разлагается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Доказательство.Пусть в некотором интервале функция f(x) является суммой степенного ряда , т.е.

Дифференцируем почленно степенной ряд:

Дифференцируем почленно полученный степенной ряд:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Следовательно, , , , … , , … .

Итак, для каждого nÎN коэффициенты ряда удовлетворяют условию

Таким образом, если функция разлагается на некотором интервале в степенной ряд, то это возможно единственным способом, именно:

Теорема доказана.

Из теоремы ясно, что разложить в степенной ряд в окрестности точки x=0 можно только функцию, имеющую производную любого порядка nÎN.

Определение 1.Пусть функция f(x) имеет в точке x=0 производные любого порядка. Рядом Маклорена функции f(x) называется степенной ряд .

Замечание.Подчеркнем, что теорема 1 является только необходимым условием разложимости функции в степенной ряд. Существуют функции, которые не являются суммами своих рядов Маклорена.

Теорема 2.Пусть функция f(x) имеет производные любого порядка на интервале и все ее производные ограничены в совокупности, т.е. существует положительное число M>0 такое, что для каждого натурального числа nÎN и для каждого выполняется условие .

Тогда сумма ряда Маклорена функции f(x) на интервале есть функция f(x) (без доказательства).

Замечание.На практике применяется несколько способов разложения функции в степенной ряд:

1) для функции f записать ряд Маклорена и доказать его сходимость к функции f ;

2) используя известные разложения и применяя линейные операции над рядами и способ замены переменной;

3) используя известные разложения и операции почленного интегрирования и почленного дифференцирования степенных рядов.

3. Разложение в ряд Маклорена функций y=e^x, y=ln(x+1), y=(1+x)ⁿ.

, где xÎR.

Заметим, что для любого nÎN и для любого выполняется неравенство , следовательно, по теореме 2, на любом интервале (а, значит, на всей числовой прямой) функция e^x равна сумме своего ряда Маклорена.

, где xÎ(-1;1] .

На интервале (-1;1) удобно применить известное разложение и применить теорему о почленном интегрировании степенного ряда: . Итак, для любого выполняется .

Можно доказать также, что ряд в точке x=1 имеет сумму ln 2.

, где xÎ(-1;1) .

Последний ряд называется биномиальным рядом. Известно, что этот ряд сходится в точке при , а в точке абсолютно при .

Составим ряд Маклорена функции y=(1+x)^a :

y¢=a×(1+x)^a^-1	y¢(0)=a
y¢¢=a×(a-1)×(1+x)^a^-2	y¢¢(0)=a×(a-1)
y¢¢¢=a×(a-1)×(a-2)×(1+x)^a^-3	y¢¢¢(0)=a×(a-1)×(a-2)
…	…
y⁽ⁿ⁾=a×(a-1)×(a-2)×…×(a-n+1)×(1+x)^a^-n	y⁽ⁿ⁾(0)=a×(a-1)×(a-2)×…×(a-n+1)
…	…

Можно доказать, что ряд 1+имеет суммой функцию y=(1+x)^a , но это является непростой задачей.