рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

С помощью степенных рядов

С помощью степенных рядов - раздел Математика, Конспект лекций по дисциплине: Элементы высшей математики Разложение Функций В Степенные Ряды С Успехом Применяется Для Решения Различн...

Разложение функций в степенные ряды с успехом применяется для решения различных задач, например:

- вычисление сумм числовых рядов;

- вычисление значений аналитических функций;

- вычисление интегралов (определенных и несобственных);

- вычисление пределов функций;

- решение некоторых типов алгебраических уравнений;

- решение некоторых типов дифференциальных уравнений.

Вычисление искомой величины сводится к приближенному вычислению суммы S некоторого сходящегося числового ряда. Если требуется вычислить S с заданной точностью e>0, то тем или иным способом подбирают номер n так, чтобы выполнялось условие , где Sn ¾ это n-я частичная сумма, а Rn ¾ n-й остаток числового ряда. Тогда с точностью до e>0.

Для знакочередующегося ряда типа Лейбница имеем .

Для положительного ряда оценка погрешности при приближенном вычислении суммы значительно сложнее. Один из основных методов в таком случае ¾ это замена остатка ряда геометрическим рядом с большей суммой.

Задача 1.Вычислить , используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена. Взять три члена разложения. Оценить погрешность.

Решение.Используя известное разложение функции ln(1+x) в степенной ряд, получаем: .

Применяя теорему о почленном интегрировании на отрезке [0;0,1], лежащем в интервале сходимости (-1;1) полученного степенного ряда, и вычисляя определенные интегралы по формуле Ньютона-Лейбница, выражаем данный интеграл как сумму числового ряда:

.

Получаем , т.к. погрешность при приближенном вычислении суммы знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена .

Ответ..

Замечание.Известно, что .

Задача 2.Вычислить с точностью до 0,001.

Решение.Используя известное разложение в степенной ряд функции получаем: , где xÎ(-1;1) .

При получаем: .

Следовательно, остаток ряда

. Ясно, что Rn<10-3, если .

Итак, .

Ответ.»0,693 с точностью до 0,001. ().


Министерство образования и науки РФ

Негосударственная образовательная организация высшего профессионального образования

некоммерческое партнерство

«Тульский институт экономики и информатики»

Кафедра «Наименование кафедры»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ПРАКТИЧЕСКИМ (СЕМИНАРСКИМ) ЗАНЯТИЯМ

ПО дисциплине: «Математика»

 

Специальность: 230700 «Прикладная информатика»

Формы обучения (очная)

 

 

Тула 2011г.

Методические указания по СРС составлены доцентом, к.т.н.Липатовой И.Е. и обсуждены на заседании кафедры «Естестественнонаучных и гуманитарных дисциплин протокол № от " " 20 г.

Зав. кафедрой________ Е.А. Вишнякова

 

Методические указания по СРС пересмотрены и утверждены на заседании кафедры название кафедры факультета название факультета.

протокол №___ от "_______ "____ 20 г.

Зав. кафедрой________ Е.А. Вишнякова

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Конспект лекций по дисциплине: Элементы высшей математики

Негосударственная образовательная организация.. высшего профессионального образования.. некоммерческое партнерство..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: С помощью степенных рядов

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Виды матриц. Равенство матриц. Действия над матрицами
Определение 1.Матрицей размера m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называютс

Определители квадратных матриц
Определение 1.Определителем матрицы 2-го порядка (определителем 2-го порядка) называется число, которо

Свойства определителей
Позволяют существенно упростить вычисление определителя, особенно для определителей высоких порядков. При этом основной целью преобразований является получение определителя, в котором как можно бол

По элементам строки или столбца
Определение 1.Минором Mij элемента aij матрицы n-го порядка A называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы

Алгоритм вычисления обратной матрицы
1. Находим определитель ½A½матрицы А. Если ½A½=0, то А - особенная матрица, А-1 не существует. Если ½A

Ранг матрицы и его вычисление с помощью элементарных преобразований
Определение 1.Пусть задана матрица А размером m´n и число k £ min (m, n). Минором k-го порядка матрицы А называе

Теорема о ранге матрицы
Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов. Пусть дана матрица . Для

Виды систем линейных уравнений
Определение 1.Системой n линейных уравнений с n переменными называется система вида: , где a

Понятие о векторном пространстве и его базисе
Определение 1.Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать параллельно самому себе).

Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.
Определение 1.n-мерный вектор x ¹ 0 называется собственным вектором матрицы A размера n ´ n, если существует такое число l

Основные виды уравнения прямой на плоскости
Определение 1.Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки

Угол между прямыми
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y=к1х+b1 и y=к2х+b2, т.е. k1=tg

ЛЕКЦИЯ 5
Тема 5: Предел и непрерывность ПЛАН 1. Предел последовательности при n®¥. 2. Предел функции при x®¥. 3. Предел функции в т

Предел функции в точке
Определение 1.Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x=x0, если значения функции f(x) приближаются (с

Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Среди всех последовательностей, имеющих предел, выделяют последовательности, предел которых равен 0. Последовательность называют бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если её предел

ЛЕКЦИЯ 6
Тема 5: Предел и непрерывность Тема 6: Производная ПЛАН 1. Второй замечательный предел, число е. 2. Свойства функций, не

Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение 1.Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x0, если .

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции
Определение 1.Функция называется дифференцируемой в точке x0, если существует производная функции

Основные правила дифференцирования функций одной переменной
К правилам дифференцирования обычно относят правила, позволяющие по определенному алгоритму найти производную любой элементарной функции. Для этого достаточно знать таблицу формул производных основ

Формулы производных основных элементарных функций
1. , 2. , 3.

Теорема Ролля и Лагранжа и их геометрический смысл
Теоремы этого параграфа являются основным средством, с помощью которого локальное понятие производной оказывается эффективным орудием при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельной

Правило Лопиталя
При вычислении пределов функций для раскрытия неопределенностей вида и при стремлен

Достаточные признаки монотонности функции
Для некоторых функций исследование на монотонность и экстремумы можно провести по определению или используя свойства неравенств. Однако в большинстве случаев самым эффективным средством становится

Достаточные признаки существования экстремума
Определение 1.Точка называется точкой максимума функции f , если существует такая окрестность

Асимптоты графика функции
Определение 1.Асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при д

Дифференциал функции и его геометрический смысл
Определение 1.Пусть функция дифференцируема в точке x0, т.е. приращение функции f в точке

Функции нескольких переменных. Частные производные
, - функция двух переменных;

Экстремум функции нескольких переменных и его необходимое условие
Определение 1.Точка называется точкой максимума функции

Нахождение эмпирических формул
1) установление вида зависимости y=f(x) (линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая); 2) определение неизвестных параметров функции. На

Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства
Всякий раз, когда в математике рассматривается какая-либо операция, возникает вопрос об операции, обратной ей. При рассмотрении обратной операции возникает два основных вопроса: ее осуществимость и

Доказательство.
1) для любого ; 2) рассмотрим функцию

Метод интегрирования по частям
Теорема 1.Пусть функции и имеют на промежутке I непрерывные про

Метод замены переменной в неопределенном интеграле
Метод замены переменной основан на правиле дифференцирования сложной функции. Теорема.Пусть функция x=j(t) имеет непрерывную производную

Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Очень многие задачи различных наук (математики, физики, экономики и других наук) приводят к необходимости вычисления для данной функции на некотором отрезке предела сумм специального вида. Задача о

Свойства определенного интеграла
Перечислим некоторые основные свойства определенного интеграла: 1) если функция f интегрируема на и

Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница
В этом параграфе мы докажем основную формулу интегрального исчисления, устанавливающую связь между понятиями определенного интеграла и первообразной функции. Пусть функция

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Рассмотрим обобщения определенного интеграла, которые появляются при отказе от ограниченности промежутка интегрирования. Определение 1.Пусть функция

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
Определение 1.Криволинейной трапецией, порожденной графиком неотрицательной функции f на отрезке , называется

Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения
Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным и дифференциальным исчис

Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения
Определение 1.Однородным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть представлено в виде

Определение числового ряда. Сходимость числового ряда
Определение 1.Если члены числовой последовательности (an) соединить знаком «+», то полученное формальное выражение а1+а2+а

Интегральный признак сходимости числовых рядов
Теорема 1(интегральный признак Коши). Пусть - ряд с неотрицательными членами и существует непрерывная, невозрастающая,

Степенной ряд и его область сходимости
Определение 1.Функциональным рядом называется формальное выражение , в котором знаком + соединены функции од

Условия разложения функции в степенной ряд. Ряд Маклорена
Нахождение суммы S(x) данного степенного ряда называется суммированием степенного ряда. Нахождение для

Методические указания к практическим занятиям
1 Решение задач должно быть итогом усвоения теоретического материала, при этом предварительно следует сделать анализ уже решённых задач, а затем самостоятельно решать задачи. 2. Каждый эта

МАТЕМАТИКА
    Специальность: 08050062 и название специальности Формы обучения (очная)     Тула-20011 Методичес

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ЗАДАНИЕ 1   Даны матрицы Найти матрицы (Варианты:1-10) :2А-В; A2 ;A-1;C-1

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги