Алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Находим определитель ½A½матрицы А.

Если ½A½=0, то А - особенная матрица, А^-1 не существует.

Если ½A½¹0, то А - неособенная матрица, А^-1 существует.

2. Находим матрицу А', транспонированную к А.

3. Находим алгебраические дополнения А'_ij элементов транспонированной матрицы А' и составляем из них присоединенную матрицу , т.е. .

4. Вычисляем обратную матрицу .

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А^-1, исходя из определения А×А^-1=×А^-1×А=Е.

Определение 4.Матрица называется присоединенной по отношению к квадратной матрице n-го порядка А, если ее элементами являются алгебраические дополнения А'_ij элементов матрицы А', транспонированной к матрице А,

т.е. , где i=1,2,...,n; j=1,2,...,n.

Необходимость.Пусть матрица А имеет А^-1, т.е. А×А^-1=×А^-1×А=Е. По свойству 10 определителей имеем ½А×А^-1 ½=½А½×½А^-1 ½=½Е½=1, Следовательно, ½А½¹0 и ½А^-1 ½¹0.

Достаточность.Пусть ½А½¹0.

Рассмотрим матрицу . По правилу умножения матриц . По определению присоединенной матрицы и свойству 7 определителей , т.е. В - диагональная матрица, диагональные элементы которой равны ½А½.

Аналогично проверяется, что . Итак, в качестве обратной матрицы можно взять матрицу , так как .

Единственность обратной матрицы следует из того, что если некоторая матрица Х удовлетворяет условию обратной матрицы А×Х=×Е, то и .