Теорема о ранге матрицы

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.

Пусть дана матрица . Для ее строк введем обозначения: e₁=(a₁₁, a₁₂, ... , a_1n), e₂=(a₂₁, a₂₂, ... , a_2n), ..., e_m=(a_m1, a_m2, ... , a_mn) .

Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы.

Операции умножения строки на число и сложения строк вводятся как операции проводимые поэлементно.

Определение 1.Строка е называется линейной комбинацией строк e₁, e₂, ... , e_s, матрицы, если е=l₁e₁+l₂ e₂+ ... +l_s e_s, где l₁, l₂, ... , l_s - произвольные числа.

Определение 2.Строки матрицы e₁, e₂, ... , e_s называются линейно зависимыми, если существуют такие числа l₁, l₂, ... , l_s не равные нулю одновременно, что линейная комбинация l₁e₁+l₂ e₂+ ... +l_s e_s равна нулевой строке.

Линейная зависимость всех строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных строк.

Определение 3.Строки матрицы e₁, e₂, ... , e_s называются линейно независимыми, если их линейная комбинация l₁e₁+l₂ e₂+ ... +l_s e_s равна нулевой строке тогда и только тогда, когда все коэффициенты l₁, l₂, ... , l_s равны нулю.

Теорема о ранге матрицы.Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).