Понятие о векторном пространстве и его базисе

Определение 1.Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B (который можно перемещать параллельно самому себе).

Определение 2.Длиной вектора AB называется число çABç, равное длине отрезка AB, изображающего вектор.

Определение 3.Произведением вектора a на число l называется вектор b=l a, имеющий длину çbç=lçaç, направление которого совпадает с направлением вектора a, если l>0, и противоположно ему, если l<0.

Определение 4.Суммой двух векторов a и b называется вектор c=a+b, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец - с концом вектора b при условии, что начало вектора b совпадает с концом вектора a. Вектор c в этом случае представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах a и b (правило параллелограмма).

Разностью двух векторов a и b называется сумма вектора a и вектора (-1)b.

Определение 5.Координатами вектора a называются координаты его конечной точки, если так переместить вектор параллельно самому себе, чтобы его начало совпало с началом координат

Суммой и разностью векторов a(x1, y1, z1) и b(x2, y2, z2) являются соответственно векторы c=a+b=(x1+x2, y1+y2, z1+z2) и d=a-b=(x1-x2, y1-y2, z1-z2). Произведение вектора a=(x1, y1, z1) на число l, есть вектор b=(l x1, l y1, l z1).

Длина вектора a(x, y, z) вычисляется по формуле çaç =

Определение 6.n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде x = (x1, x2, … xn), где xi есть i-ая компонента вектора x.

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, то есть x = у, если xi = yi, для = 1, 2, … , n.

Определение 7.Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z = х + у, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, то есть zi = xi + yi для = 1, 2, … , n.

Определение 8.Произведением вектора x на действительное число l называется вектор u=l x, компоненты ui которого равны произведению l на соответствующие компоненты вектора x, т ui = l xi для = 1, 2, … , n.

Определение 9. Векторным пространством называется множество векторов R с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие определенным свойствам.

Определение 10. Вектор a называется линейной комбинацией векторов a1, a2, … am векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа: a = l1×xi + l2×x2 + … + lm×xm где l1, l2, … lm произвольные действительные числа.

Определение 11.Векторы a1, a2, … , am векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа l1, l2, … lm, не равные нулю одновременно, что l1×xi + l2×x2 + … + lm×xm = 0. В противном случае векторы a1, a2, … , am называются линейно независимыми.

Определение 12.Линейное пространство Rn называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n + 1) векторов являются линейно зависимыми

Определение 13.Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства Rn называется базисом.