Конспект лекций для 16-и часового курса НАЧЕРТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Конспект лекций для 16-и часового курса   НАЧЕРТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ   издание 2-ое   Автор:В. М. Лебедев Москва 2008 г.

 

С О Д Е Р Ж А Н И Е

1. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ НА ПРИМЕРЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ТОЧКИ.. 6 1.1. Геометрический аппарат проецирования и метод Г. Монжа получения обратимых… 1.2. Комплексный чертеж точки. 8

В В Е Д Е Н И Е

Для тех, кто решил получить высшее образование, совершенно необходимо усвоить основной язык общения на производстве. Это язык инженерной графики.… Что такое начертательная геометрия? «Это что-то техническое» – ответит любой человек

КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ НА ПРИМЕРЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ТОЧКИ

Геометрический аппарат проецирования и метод Г. Монжа получения обратимых изображений

В начертательной геометрии и в черчении для построения изображений в основном используется один из методов проецирования. Когда направление взгляда… Однако – еще не чертеж. Чертеж должен читаться однозначно, то есть должен быть…  

Комплексный чертеж точки

Для получения 2-х картинного комплексного чертежа (Рис.6) необходимо выполнить три этапа: 1. Удалить в модели все то, что находится в пространстве. То есть: точку А и… 2. Совместить обе плоскости проекций в одну плоскость. Для этого достаточно плоскость повернуть вокруг оси до…

Конкурирующие точки

Особый практический интерес вызывает относительное положение точек, когда они находятся на одном проецирующем луче. И в направлении проецирующего… На пространственной модели проецирования (Рис.11) из двух конкурирующих точек… Если видима сама точка , то видима и её проекция . По отношению к совпадающей с ней проекцией . (Для наглядности и при…

ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ

Способы задания геометрических фигур.

 

Два способа задания геометрических фигур: кинематический и статический.

Кинематический способ основан на перемещении в пространстве точки или образующей линии по определенному закону. Закон перемещения задается направляющими элементами: точками, линиями или плоскостями. Совокупность образующей и направляющих называется определителем геометрической фигуры. Пример записи: “”. Здесь – название фигуры в общем случае, – образующая линия (точка с запятой), и – направляющие линии и – направляющая плоскость. Если характер образующей понятен из названия фигуры, то в скобках отражаются только направляющие элементы. Например: “Коническая поверхность общего вида ”. В этом случае из названия фигуры ясно, что образующей является прямая линия, а в скобках – только направляющие элементы: кривая линия и вершина конуса .

Статический способ основан на задании фигуры каркасом из неподвижных точек и линий. Каркас называется дискретным, если нет математической закономерности образования его элементов. Уплотнить такой каркас дополнительными элементами можно только с определенными погрешностями. Примером могут служить дискретные каркасы топографических и сложных технических поверхностей. Непрерывный каркас отличается закономерным образованием его элементов. Это дает возможность теоретически бесконечно уплотнять каркас дополнительными элементами. Примером может служить каркас конуса вращения, заданного семейством окружностей с центрами на оси вращения, радиусы которых ограничены прямой линией, проходящей через вершину конуса.

Прямая линия, плоскость и многогранник

Прямая линия может быть задана одним из двух способов (Рис13 и 14): Рис.13 Рис.14 – Точкой и направлением (кинематический способ). . – Двумя точками (статический способ, точечный каркас): .

Кривая линия общего вида

Ограничимся кривыми линиями общего вида. Под которыми следует понимать плоские и пространственные кривые, не имеющие определенно выраженного закона… Пример (Рис.21). Построить недостающую профильную проекцию кривой линии . На заданной линии задаем достаточно плотный ряд точек (1,2,…) и для каждой из них решаем элементарную задачу на…

Кинематические поверхности

  При образовании таких поверхностей образующая прямая скользит по направляющим… Разновидности и , соответственно, названия подобных поверхностей определяются формой их направляющих: в виде кривых…

ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

Общие понятия взаимопринадлежности

Элементарная (основная) задача на принадлежность, без которой бесполезно пытаться решать любую задачу на ту же тему, - это задача на принадлежность… Точка принадлежит любой поверхности, если она лежит на какой-либо линии этой… Желательно, чтобы эта линия имела простые проекции (в виде прямых линий или окружностей). Отсюда – три практичных…

Точка на линии

Положение о том, что точка на прямой проецируется в точку на проекции этой прямой (одно из инвариантных свойств проецирования) справедливо и для… линии. На комплексном чертеже это свойство должно проявляться, по крайней… Задачи на принадлежность точки к прямой линии, как видно по чертежу, не вызывают особых затруднений. Кроме тех…

Прямая и точка на плоскости

Прямая а задается точкой 1, в которой она пересекается со стороной треугольника , и направлением, параллельным стороне . Прямая задается двумя точками 2 и 3, в которых она пересекается со сторонами… Пример 2. (Рис.32). Построить недостающие (горизонтальные) проекции точек и , принадлежащих плоскости . …

Точка и линия на поверхности.

Напомним уже известное, что точка принадлежит поверхности, если она на линии, принадлежащей поверхности. Хорошо, если эта линия имеет простые…   Рис.33 Пример 1 (Рис.33). Построить фронтальную проекцию точки , принадлежащей открытому тору .

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР.

Общие замечания.

Пересечь геометрические фигуры – значит определить их общие точки и линии. И грамотно обвести чертеж с учетом видимости. Для этого совершенно… 4.2. Пересечение геометрических фигур, если одна из них – проецирующая.  

Конические сечения

Если , то – окружность, Если , то – эллипс, Если , то – парабола,

Пересечение геометрических фигур с привлечением посредников

Рассмотрим наиболее общий случай: пересечение криволинейных поверхностей, например, и . ( Рис.41): Рис.41 1). Пусть поверхности и пересекаются по некоторой линии: . 2). Всякая линия задается точками. Зададим линию ℓ в виде объединения n-ого количества текущих точек .

Метод проецирующих секущих плоскостей

  Дано: Прям. Пл. Решение: 1) , 2) , 3) , , . 4) Видимость. ?: . Проведя через заданную прямую посредник определяем его пересечение с… Видимость проекций прямой определяется по отмеченным на чертеже конкурирующим точкам. Дано: Кон. , Пр.…

Метод концентрических сфер

    В целом решение задач методом концентрических сфер ведется в обычной, принятой ранее последовательности. За…

Частный случай теоремы Г.Монжа

Если две поверхности вращения 2-го порядка(конусы и цилиндры)описаны вокруг общей сферы, то они пересекаются по двум линиям того же порядка. Это… В этом случае вырожденные прямолинейная проекция каждой из линий пересечения… Пример (Рис.50). Построить результат пересечения цилиндра и конуса вращения, если они описаны вокруг одной и той же…

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА И СПОСОБ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Основные задачи преобразования

При использовании различных способов перевода фигур из общего положения – в частное преследуются следующие задачи преобразования (Рис.51):

1) Прямую общего положения – в линию уровня.

2) Линию уровня – в проецирующую прямую.

3) Плоскость общего положения – в проецирующую плоскость.

4) Проецирующую плоскости – в плоскость уровня.

 

Рис.51

 

Способ замены плоскостей проекций

Принцип выполнения замены плоскостей проекций покажем на примере изображения точки А в заданной системе и в новой системе плоскостей проекций .… и – Старая и новая системы плоскостей проекций.  

Способ вращения вокруг проецирующей прямой

Траектория вращения точки на плоскость, перпендикулярную к оси вращения, проецируется без искажения, а на плоскость, параллельную оси, – в виде…   Рис.56  

Способ прямоугольного треугольника

Точно такой же треугольник с точно такими же сведениями об отрезке можно получить без операции проецирования и даже – на безосном комплексном…   Рис.58 1) Длина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, один катет которого – это проекция отрезка, второй…

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

Параллельность прямых и плоскостей

Пример (рис.60). Прямая параллельна плоскости , так как она параллельна прямой , принадлежащей этой плоскости. Две плоскости параллельны, если две не параллельные прямые одной плоскости…  

Общие понятия перпендикулярности.

  Рис.62 По теореме о проецировании прямого угла следует, что прямой угол проецируется… Особого доказательства здесь не потребуется, если теорему о проецировании прямого угла сравнить с известной обратной…

Перпендикулярность прямых и плоскостей.

Через любую точку в пространстве можно провести бесконечное число прямых, пересекающих линию или скрещивающихся с ней под прямым углом. Но не все…   Для прямой, перпендикулярной к плоскости, дадим поэтапно три определения: общее для пространства, в принципе…

Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум не параллельным прямым этой плоскости.

Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна (в частности) к двум линиям уровня на этой плоскости.

Прямая перпендикулярна к плоскости, если горизонтальная проекция прямой перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости, а фронтальная проекция прямой- перпендикулярна к фронтальной проекцией фронтали. (Используются любые пары изображения перпендикуляра и с профильной проекцией. Тогда профильная проекция прямой перпендикулярна к профильной прямой плоскости).

Пример 2 (Рис.65). Через точку провести перпендикулярную к плоскости .

Рис.65

 

Дано: .	Решение: 1). , 2). , 3).
?: (n A) ∆.

 

 

Пример 3 (Рис.66). Через точкупровести плоскость, перпендикулярную к плоскости .

Рис.66

Зададим искомую плоскость двумя пересекающимися прямыми. Одна из них может быть произвольная, вторая – обязательно перпендикулярной к заданной плоскости.

Дано:	Решение: 1). – произвольная прямая, 2). , 3). .
?: .

 

Линия наибольшего наклона на плоскости

Свойства линии ската: 1) Линия ската на наклонной плоскости есть линия, наибольшего наклона по… 2) Линия ската (линия наибольшего наклона) определяет угол наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций. (Из…

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Классификация метрических задач (определение углов и расстояний)

Решения метрических задач основаны на применении практически всех предыдущих разделов курса начертательной геометрии. Включая прежде всего взаимопринадлежность и пересечение геометрических фигур, параллельность и перпендикулярность и способы преобразования комплексного чертежа.

Поскольку алгоритмы всех разновидностей метрических задач приведены в рабочих тетрадях, то ограничимся их простым перечислением:

Определение расстояний: 1) Между точками. 2) От точки до прямой линии. 3) Между параллельными прямыми. 4) От точки до плоскости. 5) От прямой до плоскости. 6) Между плоскостями. 7) Между скрещивающимися прямыми.

Определение углов: 1) Между пересекающимися прямыми. 2) Между скрещивающимися прямыми. 3) Между прямой и плоскостью. 4) Между плоскостями.

Примеры решения метрических задач

Простейшие метрические задачи приводились при изучении отдельных предыдущих разделов курса. Теперь рассмотрим несколько относительно сложных задач с применением и почти без применения способов преобразования комплексного чертежа.

 

Пример1 (Рис.69) Определить расстояние от точки до отрезка без преобразования чертежа (кроме заключительной части задачи).

По ходу решения задачи необходимо выполнить три вещи: задать необходимый перпендикуляр, пересечь его с отрезком и определить его натуральную величину этого перпендикуляра.

Задать перпендикуляр – значит найти его точку пересечения с отрезком. С отрезком общего положения. В этом случае перпендикуляр не окажется линией уровня. Поэтому теорема о трех перпендикулярах здесь не поможет. Обратимся к другому пути решения.

Из точки можно проводить бесконечное множество прямых, перпендикулярных к отрезку . Но только один из них имеет шансы пересечь отрезок в некоторой точке . Построить точку можно как результат пересечения отрезка с плоскостью , содержащей в себе упомянутые перпендикуляры.

Остается определить длину перпендикуляра любым способом преобразования чертежа или способом прямоугольного треугольника в данной задаче используем способ вращения вокруг проецирующей прямой.

Рис.69

Решение:

1) :

2) : , – посредник.

3) – перпендикуляр.

4) – ответ.

 

Пример 2 (Рис.70). Решить предыдущую задачу способом замены плоскостей проекций. Дополнительно спроецировать перпендикуляр на исходные плоскости проекций: и .

Чтобы определить длину перпендикуляра , необходимо спроецировать его в натуральную величину. А это станет возможным, если отрезок преобразовать в проецирующую прямую и использовать его вырожденную в точку проекцию. Для решения задачи потребуется две замены плоскостей проекций.

 

Рис.70

Решение:

1-я замена:

1.

2. и ,

AB(A1B1, A4B4) – линия уровня.

2-я замена:

3. (П5 П4) AB Х45 A4B4,

4. A5 = B5 и M5,

AB(A4B4, A5=B5) – проецирующая

прямая.

5. |M5, (A5=B5)|=|M,AB| - ответ.

Дополнительно: при обратном проецировании перпендикуляра на плоскости и учесть, что в системе плоскость перпендикуляр – линия уровня.

 

 

Пример 3 (Рис.71). Определить угол наклона отрезка к плоскости способом замены плоскостей проекций.

На чертеже угол между прямой и плоскостью определяется углом между вырожденной проекцией плоскости и натуральной величиной отрезка на прямой. Для получения вырожденной проекции плоскости требуется две замены плоскостей проекций. При второй замене необходимо учитывать, что отрезок в последней системе плоскостей проекций должен оказаться линией уровня.

Решение:

1-я замена:

1.

2. и ,

– плоскость уровня.

Рис.71

2-я замена:

3. ,

4. и ,

– проецирующая прямая,

– прямая уровня.

5. .

6. Обводка с учётом видимости.

 

СТАНДАРТНАЯ ОРТОГОНАЛЬНАЯ АКСОНОМЕТРИЯ

Основные понятия

Аксонометрия – это изображение предмета на плоскости общего положения П’ в системе аксонометрических осей проекций .

В общем случае аксонометрия включает в себя (рис.72):

– Картину осей с коэффициентами искажения по осям.

– Аксонометрическое изображение.

– Вторичную проекцию (при необходимости использовать значения координат).

Рис.72

 

,,– Натуральные координаты.

,,– Аксонометрические координаты.

 

коэффициенты искажения по осям.

 

 

Значения коэффициентов искажения по осям связанны с основной формулой ортогональной аксонометрии: .

Соотношения между собой коэффициентов зависит вид аксонометрической проекции:

– триметрия, если .

– диметрия, если .

– изометрия, если .

Стандартная изометрия и диметрия

  Рис.73   Рис.74 Для построения изображения любой точки геометрической фигуры используется координатная ломанная линия с учетом…

Окружность в аксонометрии

Окружность в плоскости уровня проецируется на аксонометрическую плоскость проекций в виде эллипса. При построении такой проекции необходимо учитывать направление большой оси эллипса, ее размеры и размеры малой оси. Очертание эллипса пока достаточно строить по 8-ми его точкам: 4 точки на большой и малой оси эллипса – (и ) и 4 точки на диаметрах, параллельных аксонометрическим осям. И все это – относительно натурального размера диаметра () самой окружности. Рис.76 и 77.

Направление большой оси эллипса должно быть направлено перпендикулярно к той аксонометрической оси, которая перпендикулярна к плоскости окружности.

Пример (Рис.78). По комплексному чертежу цилиндрической детали построить её изображение в приведённой изометрии. Выполнение чертежа изделия необходимо начинать с элементов, которые… Начинаем с оси вращения, параллельной оси . На оси задаем две точки на расстоянии, равном длине детали. Через точки…

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА.

 

1. Четверухин Н.Ф., Левицкий В.С., Прянишникова З.И., Тевлин А.М., Федоров С.И. Начертательная геометрия. –Москва, «В.Ш.» 1963 г..

 

2. Фролов С.А., Покровская М.В. Начертательная геометрия. Что это такое? –Минск, «Вышэйшая школа», 1986 г..

 

3. Нартова Л.Г., Тевлин А.М., Полозов В.С., Якунин В.И. Современный курс начертательной геометрии. –Москва, изд-во МАИ, 1996г..

 

4. Нартова Л.Г., Якунин В.И. Начертательная геометрия. –Москва, Дрофа, 2003.