Дифференцирование сложной функции
Пусть 
— функция двух переменных, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных 
и 
: 
, 
. Тогда 
— сложная функция двух независимых переменных и , а переменные 
и 
— промежуточные аргументы.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке 
, а функции и дифференцируемы в точке 
D
, то сложная функция , где ; , дифференцируема в точке D, причем ее частные производные вычисляются по формулам:
, 
.
Доказательство. Докажем первую из формул. В точке 
переменной дадим приращение 
, сохранив 
постоянной. Тогда функции и получат частные приращения 
, 
, а функция 
— полное приращение 
(так как и — приращения по обоим промежуточным аргументам). Функция дифференцируема в точке , поэтому ее приращение в этой точке представимо в виде
.
Разделим данное равенство на 
:
(1)
Если 
, то 
и 
в силу непрерывности функций 
и 
,
, 
.
Переходя к пределу в равенстве (1) с учетом того, что
, 
имеем
.
Аналогично
.
Теорема доказана.
Рассмотрим функцию трех переменных 
, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных , , : 
, 
, 
. Тогда функция 
является сложной функцией трех независимых переменных , , , а переменные , , 
называются промежуточными. Частные производные этой функции вычисляются по формулам:
,
,
.
Пример.Вычислить частные производные сложной функции двух переменных 
, где 
; 
.
Решение. Найдем частные производные
, 
, 
, 
, 
, 
. Следовательно,
.
Найдем теперь полный дифференциал сложной функции 
в точке . Подставим выражения и в формулу полного дифференциала сложной функции двух переменных
. (2)
Получим
или
Так как 
, 
, то
. (3)
Сравнивая формулы (2) и (3), замечаем, что форма записи полного дифференциала функции двух переменных не зависит от того, являются ли и независимыми переменными, или функциями других независимых переменных. В этом и заключается инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных. (Напомним, что первый дифференциал функции одной переменной также обладает этим свойством.)