При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров.
Пример. Площадь прямоугольника со сторонами, длины которых равны и , выражается формулой
.
Каждой паре значений и соответствует определенное значение площади . есть функция двух переменных.
Пример. Объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны ,,, выражается формулой
.
Здесь есть функция трех переменных ,,.
Пример.
Здесь есть функция четырех переменных , , , .
Определение.Множество всех упорядоченных наборов действительных чисел называется -мерным арифметическим пространством и обозначается Rn , а его элементы – точками пространства Rn(мерными точками). Числа при этом называют координатами точки . Точку называют началом координат.
Пусть DÌRn — произвольное множество точек n-мерного арифметического пространства.
Определение.Числовой функцией(или отображением) от переменных, определенной на множестве D называется закон, по которому каждой точке Î D ставится в соответствие некоторое вполне определенное действительное число .
Обозначения: :Rn®R или .
Множество D при этом называют областью определения, а множество
R |, D}— множеством значений функции =.
В частном случае при функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точек плоскости.
Частное значение функции при , обозначают , , и т.д.
Функция двух переменных и может быть задана аналитическим, табличным, графическим, программным (алгоритмом вычисления по значениям и ) и другими способами.
Функцию двух переменных можно изобразить в трехмерном пространстве при выбранной декартовой системе координат как множество точек пространства ÎR3, координаты которых удовлетворяют уравнению , которое, вообще говоря, есть уравнение некоторой поверхности в R3. Проекцией этой поверхности на плоскость является область определения D. Каждый перпендикуляр к плоскости пересекает поверхность не более чем в одной точке (в силу однозначности функции).
Замечание. Функцию трех и более переменных изобразить графически невозможно.
Пример. Найти область определения функции .
Решение. Аналитическое выражение имеет смысл при любых действительных значениях и . Следовательно, областью определения является вся числовая плоскость т.е. D=R2 .
Пример. Найти область определения функции .
Решение. Аналитическое выражение имеет смысл при , следовательно, областью определения этой функции являются I и III четверти плоскости , включая оси и , т.е. область, заштрихованная на рисунке.
Пример. Найти область определения функции .
Решение. Для того, чтобы имело действительное значение, необходимо, чтобы под корнем было неотрицательное число, т.е. и должны удовлетворять неравенству или .
Все точки , координаты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга, т.е. область, заштрихованная на рисунке.
Пример. Найти область определения, множество значений функции , построить график.
Решение. Область определения этой функции D=R2,множество значенийЕ. Графиком данной функции в пространстве R3является параболоид вращения.
Пример. Найти область определения и множество значений функции .
Решение. Данная функция определена, если или , откуда D{R3 | }, т. е. областью определения Dданной функции является множество точек открытого трёхмерного шара радиуса , а Е(.