Краткий курс математического анализа В лекционном изложении третий семестр Часть1 Кратные и криволинейные интегралы, теория поля

Галкин С.В.

 

Краткий курс математического анализа

В лекционном изложении

Для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана

(третий семестр)

 

Москва 2005.

 

 

Часть1 Кратные и криволинейные интегралы, теория поля.

Лекция 1.

Двойной интеграл.

Задача об объеме цилиндрического тела.

К определенному интегралу мы пришли от задачи о площади криволинейной трапеции. К двойному интегралу мы приходим, решая задачу об объеме цилиндрического тела.

- Рассмотрим, например, прямой круговой цилиндр с высотой h и радиусом основания R его объем равен

- Объем цилиндра той же высоты, в основании которого лежит эллипс с полуосями равен .

- Объем цилиндра той же высоты, с площадью основания , равен .

Пусть надо вычислить объем цилиндрического тела, в основании которого лежит область с площадью , а высота изменяется от точки к точке так, что конец ее описывает некоторую поверхность(). Тогда логично разбить областьна области малого размера – организовать разбиение области на области – элементы разбиения. На каждом элементе отметим точку M(x,y) и построим над этим элементом прямой круговой цилиндр, высота которого постоянна для всех точек элемента и равна . Вычислим объем этого элементарного цилиндра. Просуммируем объемы всех элементарных цилиндров. Эта сумма и даст приближенно искомый объем цилиндрического тела тем точнее, чем меньше будут размеры элементов разбиения. Этот алгоритм используем для построения двойного интеграла

 

Двойной интеграл[1]

.

1. Организуем разбиение области D на элементы – области так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и(условие А) 2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» Mi и вычислим в них значения функции 3. Построим интегральную сумму , где - площадь 4. Переходя к пределу при условии (условие В), получим двойной интеграл как предел интегральных сумм:

 

Теорема существования[2].

Пусть функция непрерывна в замкнутой односвязной области D[3]. Тогда двойной интеграл существует как предел интегральных сумм.

.

Замечание[4]. Предел этот не зависит от

- способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А

- выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,

- способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В

 

Свойства двойного интеграла[5].

1. Линейность а) свойство суперпозиции .=+ б) свойство однородности.= Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Они равны интегральным суммам для…

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.

Предположим, что D – плоская область, лежащая в некоторой плоскости и введем в этой плоскости декартову систему координат. Область D назовем правильной, если любая прямая, параллельная декартовым осям,… Можно показать, что замкнутую ограниченную область с кусочно-гладкой границей можно представить в виде объединения…

Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла.

К двойному интегралу .мы пришли от задачи об объеме цилиндрического тела, расположенного над областью D с переменной высотой . В этом и состоит его геометрический смысл. Можно рассмотреть задачу о массе плоской пластины, представляющей собой плоскую область D, плотность которой равна ,…

Лекция 2. Приложения двойного интеграла.

Теорема.Пусть установлено взаимно однозначное соответствие областей D_xy и D_uv с помощью непрерывных, имеющих непрерывные частные производные функций . Пусть функция f(x,y) непрерывна в области D_xy. Тогда

, где - якобиан (определитель Якоби).

Доказательство (нестрогое). Рассмотрим элементарную ячейку в координатах u, v: Q₁, Q₃, Q₄, Q₂ – прямоугольник со сторонами du, dv. Рассмотрим ее образ при отображении - ячейку P₁, P₃, P₄, P₂.

P1 y x P3 P4 P2 Q1 Q2 Q4 Q3 v u

Запишем координаты точек Q1 (u, v), Q2 (u+du, v), Q3 (u, v+dv),

 

Приближенно будем считать ячейку P₃, P₄, P₁, P₂.параллелограммом, образованным сторонами . Вычислим площадь этой ячейки как площадь параллелограмма.

.

Подставляя в интеграл площадь параллелограмма в качестве площади ячейки dxdy, получим .

Следствие. Рассмотрим частный случай – полярную систему координат : . .

Пример. Вычислить площадь внутри кардиоиды .

.

 

Пример. Вычислить объем внутри прямого кругового цилиндра , ограниченный плоскостью в первом октанте.

.

Для каждой задачи можно выбрать ту систему координат, в которой вычисления проще. Декартова система координат удобна для прямоугольных областей. Если стороны прямоугольника параллельны координатным осям, то пределы интегрирования в повторном интеграле постоянны. Полярная система координат удобна для круга, кругового сектора или сегмента. Если центр круга находится в начале координат, то пределы интегрирования по углу и радиусу постоянны.

 

Приложения двойного интеграла.

 

С помощью двойного интеграла можно вычислить объем цилиндрического тела, площадь и массу плоской области. От этих задач мы и пришли к двойному интегралу.

Но возможны и менее очевидные приложения.

С помощью двойного интеграла можно вычислять площадь поверхности, определять статические моменты, моменты инерции и центр тяжести плоской области.

Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.

то можно считать справедливым соотношение Dvk cosgk = Dsk. Выразим отсюда Dvk=Dsk/ cosgk. Будем измельчать разбиение при условии max diam Dsk ®0, что… .

Вычисление статических моментов, координат центра тяжести, моментов инерции.

Пусть задана плотность вещества плоской материальной области D r(x, y). Выделим элементарную ячейку с массой dm и применим к ней известные формулы… Статические моменты относительно осей OX, OY dmx = y dm = y r(x, y) ds, dmy = x dm = x r(x, y) ds.

Замечание о несобственных двойных интегралах.

Точно так же, как и в определенных интегралах, вводят несобственные двойные интегралы двух типов: интеграл от непрерывной функции по неограниченной… Интеграл первого рода определяют как предел последовательности двойных… Интеграл второго рода[6] определяют как предел последовательности интегралов от непрерывной функции по «расширяющимся»…

Лекция 3 Тройной интеграл.

Задача о массе пространственного тела.

Пусть есть некоторое пространственное материальное тело, занимающее область V, в каждой точке которой задана объемная плотность f(x, y, z). Надо вычислить массу пространственного тела.

Эта задача приводит к понятию тройного интеграла.

Введем разбиение области V на элементарные области, не имеющие общих внутренних точек (условие А) Dv_k с малым объемом (обозначение области и ее объема обычно одно и то же, это принято уже более 200 лет и не вносит путаницы).

На каждом элементе разбиения – элементарной области отметим точку M_k(x_k, y_k, z_k). Вычислим плотность в этой точке f(x_k, y_k, z_k) = f(M_k) и предположим, что плотность постоянна в элементарной области. Тогда масса элементарной области Dv_k приближенно равна = f(M_k) . Суммируя все такие массы элементарных областей (составляяинтегральную сумму), приближенно получим массу области V

Для того, чтобы точно вычислить массу области, остается перейти к пределу при условии (условие B).

.

Так задача о массе пространственной области приводит к тройному интегралу[7].

Введем некоторые ограничения на область интегрирования и подинтегральную функцию, достаточные для существования интеграла[8].

Потребуем, чтобы функция f(M) была непрерывна в области V и на ее границе.

Потребуем, чтобы область V была замкнутой, ограниченной, пространственно-односвязной областью с кусочно-гладкой границей.

Область назовем пространственно-односвязной, если ее можно непрерывной деформацией стянуть в точку.

 

Теорема существования.Пусть область V и функция f(M)=f(x, y, z) удовлетворяют сформулированным требованиям. Тогда тройной интеграл существует как предел интегральных сумм.

.

Замечание. Предел этот не зависит[9]:

1) от выбора разбиения области, лишь бы выполнялось условие А

2) от выбора отмеченных точек на элементах разбиения

3) от способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие B.

 

Свойства тройного интеграла.

б) = Эти свойства, как и для двойного интеграла, доказываются «через интегральные суммы». Составляют интегральную сумму для интегралов, стоящих в… 2. Аддитивность (по множеству) =+ Доказательство проводится, как и ранее, через интегральные суммы с использованием замечания к теореме существования. …

Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.

Если сначала перебирать элементы в столбце над областью Dxy, от нижней границы до верхней (внутренний интеграл), а затем перемещать область Dxy в D… Если сначала перебирать элементы в слое [z, z+Dz] (внутренний интеграл), а… Пример. Вычислить массу тетраэдра плотностью f(x, y, z) = z, ограниченного плоскостями x+y+z = 1, x+z =1, x+y = 1, y+z…

Лекция 4. Приложения тройного интеграла.

 

Замена переменных в тройном интеграле.

Теорема. Пусть с помощью непрерывных функций x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z =z(u, v, w) имеющих непрерывные частные производные установлено взаимно однозначное соответствие пространственно односвязных ограниченных, замкнутых областей D_xyz^, D_u,v,w с кусочно-гладкой границей. Тогда , где - якобиан (определитель Якоби).

Теорема приведена без доказательства.

 

Цилиндрическая система координат.

  Пример Вычислить объем пространственного тела, заключенного между цилиндрической поверхностью и эллиптическим…

Сферическая система координат.

  = Пример. Найти массу части шара (с центром в начале координат, радиусом R), находящейся в первом октанте, если…

Приложения тройного интеграла.

Геометрическое приложение – вычисление объема любого пространственного тела.

По свойству 3 тройного интеграла , где – объем области V.

С помощью двойного интеграла тоже можно вычислять объем, но только цилиндрического тела, а не произвольного.

Пример. Вычислить объем пространственного тела, ограниченного эллиптическим параболоидом и шаром ( единичного радиуса с центром в точке (0, 0, 1))

.

 

Механические приложения – вычисление массы пространственного тела, статических моментов, центра тяжести, моментов инерциипо формулам, которые выводятся аналогично соответствующим формулам для плоского тела с двойным интегралом (- плотность вещества тела в каждой точке).

, , . Формулы для моментов инерции запишите сами (например, )

 

Пример. Определить координаты центра тяжести полушара , По симметрии . ,

 

Лекция 5 Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства..

 

Задача о массе кривой. Криволинейный интеграл 1 рода.

 

Задача о массе кривой. Пусть в каждой точке кусочно-гладкой материальной кривой L: (AB) задана ее плотность . Определить массу кривой.

Поступим так же, как мы поступали при определении массы плоской области (двойной интеграл) и пространственного тела (тройной интеграл).

1. Организуем разбиение области- дуги L на элементы – элементарные дуги так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и(условие А)

2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» M_i и вычислим в них значения функции

3. Построим интегральную сумму , где - длина дуги (обычно вводятся одни и те же обозначения для дуги и ее длины). Это – приблизительное значение массы кривой. Упрощение состоит в том, что мы предположили плотность дуги постоянной на каждом элементе и взяли конечное число элементов.

Переходя к пределу при условии (условие В), получим криволинейный интеграл первого рода как предел интегральных сумм:

.

 

Теорема существования[10].

Пусть функция непрерывна на кусочно-гладкой дуге L[11]. Тогда криволинейный интеграл первого рода существует как предел интегральных сумм.

 

Замечание. Предел этот не зависит от

- способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А

- выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,

- способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В

 

 

Свойства криволинейного интеграла первого рода.

1. Линейность а) свойство суперпозиции б) свойство однородности . Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число…

Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

Параметризуем дугу L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Пусть t₀ соответствует точке A, а t₁ соответствует точке B. Тогда криволинейный интеграл первого рода сводится к определенному интегралу (- известная из 1 семестра формула для вычисления дифференциала длины дуги):

Пример. Вычислить массу одного витка однородной (плотность равна k) винтовой линии: .

.

Криволинейный интеграл 2 рода.

Задача о работе силы.

Какую работу производит сила F(M) при перемещении точки M по дуге AB? Если бы дуга AB была отрезком прямой, а сила была бы постоянной по величине и направлению при перемещении точки M по дуге AB, то работу можно было бы вычислить по формуле , где - угол между векторами. В общем случае эту формулу можно использовать для построения интегральной суммы, предполагая силу постоянной на элементе дуги достаточно малой длины. Вместо длины малого элемента дуги можно взять длину стягивающей ее хорды , так как эти величины – эквивалентные бесконечно малые величины при условии (первый семестр).

1. Организуем разбиение области- дуги AB на элементы – элементарные дуги так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и(условие А)

2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» M_i и вычислим в них значения функции

3. Построим интегральную сумму , где вектор, направленный по хорде, стягивающей -дугу .

4. Переходя к пределу при условии (условие В), получим криволинейный интеграл второго рода как предел интегральных сумм (и работу силы):

.Часто обозначают

Теорема существования.

Пусть вектор - функция непрерывна на кусочно-гладкой дуге L[12]. Тогда криволинейный интеграл второго рода существует как предел интегральных сумм.

.

 

 

Замечание. Предел этот не зависит от

- способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А

- выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,

- способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В

 

Свойства криволинейного интеграла 2 рода.

1. Линейность а) свойство суперпозиции б) свойство однородности . Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число…

Вычисление криволинейного интеграла второго рода.

Пусть . Запишем . Тогда криволинейный интеграл второго рода можно записать в виде .

Лекция 6. Формула Грина.

  Теорема (формула) Грина. Пусть G – плоская односвязная область с… Тогда справедлива формула Грина

Вычисление площади области по формуле Грина.

 

По свойству 3 двойного интеграла площадь области D можно вычислить по формуле

. Поэтому достаточно выбрать P, Q так, чтобы , чтобы с помощью криволинейного интеграла по формуле Грина можно было бы вычислять площадь области.

Например, можно выбрать Q=x, P=0. Тогда . Можно выбрать Q=0, P=y, тогда . Очень полезна бывает симметричная формула при .

Пример. Вычислить площадь эллипса с полуосями a, b

.

 

Полный дифференциал и его вычисление.

1) зависит только от начальной A и конечной B точек дуги и не зависит от формы дуги (не зависит от пути интегрирования), 2) для любого кусочно-гладкого контура 3) ,

Формула Ньютона – Лейбница.

- полный дифференциал, а функция - потенциал. Тогда справедлива формула Ньютона – Лейбница ,где - потенциал.

Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой.

1) не зависит от формы дуги (от пути интегрирования), а зависит только от начальной и конечной точек дуги. 2) Для любого замкнутого контура 3)

Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала.

1) Можно выбирать удобный путь интегрирования, например, состоящий из отрезков, параллельных OX и OY. На отрезке, параллельном OX, dy=0, так как y… 2) Можно восстановить потенциал, как это делалось на первом курсе при решении…  

Формула Грина для многосвязной области.

Пусть кусочно-гладкие контуры лежат внутри контура и вне друг друга. Пусть непрерывны и имеют непрерывные частные производные по переменным x, y в…   =

Лекция 7. Поверхностные интегралы.

  Задача о массе поверхности приводит нас к поверхностному интегралу 1 рода,… Пусть в каждой точке кусочно-гладкой поверхности s задана поверхностная плотность f(x, y, z).

Свойства поверхностного интеграла первого рода.

  1) Линейность. 2) Аддитивность

Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

=. Если поверхность задана уравнением , точно так же получим формулу = . Здесь надо учитывать, что точка (x, y, z) лежит на поверхности .

Поверхностный интеграл второго рода.

Поверхность называется ориентируемой, если в каждой ее точке существует вектор нормали к , - непрерывная вектор – функция на .

Поверхность называется односторонней, если при обходе поверхности по контуру g вектор нормали меняет свое направление на противоположное.

Поверхность называется двусторонней,если при обходе поверхности по контуру g вектор нормали не меняет свое направление.

Примером односторонней поверхности является петля Мебиуса, примерами двусторонних поверхностей – плоскость, сфера, гиперболоиды и т.д.

 

Задача о потоке жидкости через поверхность.

 

Поток жидкости через поверхность .– это количество жидкости, протекающее через поверхность в единицу времени.

 

Пусть на элементе поверхности площадке в некоторой ее точке M проведен вектор перемещения частицы жидкости через площадку в единицу времени. Предполагаем, что для всех точек перемещение одинаково по величине и направлению. Поток жидкости можно вычислить как объем наклонного (по направлению вектора перемещений) параллелепипеда, построенного на . Этот объем равен , где - единичный вектор нормали к поверхности. Тогда поток жидкости равен П =

Здесь мы вычисляли дифференциал потока, а затем интегрировали по всей поверхности – это метод дифференциалов при построении интеграла.

Можно строить интеграл с помощью метода интегральных сумм, как мы действовали обычно.

- Введем разбиение области на элементы так, чтобы соседние элементы не содержали общих внутренних точек (условие А),

- на элементах разбиения отметим точку М. Предполагая перемещение частиц жидкости постоянным на элементе и равным (M), вычислим приближенно поток через элемент разбиения и просуммируем его по элементам, получая интегральную сумму .

- Измельчим разбиение при условии (условие В) и перейдем к пределу получая поверхностный интеграл второго рода

.

По виду это – поверхностный интеграл первого рода, он и имеет те же свойства, что поверхностный интеграл первого рода, но имеет еще и свойство ориентируемости. Интеграл по внешней стороне поверхности отличается знаком от интеграла по внутренней стороне поверхности, так как на различных сторонах поверхности нормали в той же точке нормали направлены по одной прямой в различные стороны.

Теорема существования формулируется так же, как для поверхностного интеграла первого рода с тем же замечанием о независимости интеграла от способа выбора разбиения (лишь бы выполнялись условия А), от выбора точек на элементах разбиения, от способа измельчения разбиения (лишь бы выполнялось условие В).

 

Запись поверхностного интеграла второго рода.

Запишем вектор перемещений частиц и нормаль в точке M(x, y, z), выделяя скалярные компоненты векторов ,

Лекция 8

Скалярное и векторное поля.

Говорят, что в области (плоской или пространственной) задано векторное поле (M), если в этой области задана векторная функция (M). Например, масса или температура частиц в комнате – скалярные поля, скорость… В интегралах первого рода :двойных, криволинейных, поверхностных мы имели дело со скалярным полем – распределением…

Скалярные поля.

Линии уровня плоского поля j (x, y) – кривые, на которых значения функции постоянны j (x, y) = С. Например, линии равной высоты, нанесенные на географической карты (h (x, y) =… Поверхности уровня пространственного поля j (x, y, z) – поверхности, на которых значения функции постоянны j (x, y, z)…

Векторное поле.

 

Векторная линия -линия, в каждой точке которой вектор поля направлен по касательной к ней.

Уравнения векторной линии легко получить из условия коллинеарности векторов поля и касательной

.

Пример. Написать уравнения векторных линий векторного поля

- линии уровня – окружности (С>0).

Векторной трубкойназывается поверхность, образованная векторными линиями.

 

Формула Остроградского – Гаусса.

Тогда справедлива формула Остроградского – Гаусса . Заметим, что левая часть формулы представляет собой поток векторного поля через поверхность .

Инвариантное определение дивергенции.

 

Рассмотрим произвольную точку M в пространственной области V. Выберем ее окрестность V_M – шар радиуса r с центром в точке M. Обозначим - ее границу – сферу радиуса r. По теореме о среднем для тройного интеграла

(по формуле Остроградского – Гаусса).

Стягиваем окрестность к точке M, получаем дивергенцию векторного поля в точке M.

. Это и есть инвариантное определение дивергенции.

Поэтому дивергенция векторного поля в точке M имеет смысл объемной плотности потока векторного поля через окрестность этой точки и характеризует мощность источника (если >0) или стока (если <0) векторного поля в точке M.

Если >0, то точка M – источник векторного поля, если <0, то точка M – сток векторного поля. Если в некоторой области дивергенция равна нулю, то в этой области нет ни источников, ни стоков, поток векторного поля через границу такой области равен нулю – «сколько поля втекает в область, столько и вытекает из нее».

 

Пример. Определить расположение источников и стоков векторного поля . Выяснить, является ли точка M(1,2,3) источником или стоком.

. Все точки, для которых 2xy+xz >0 – источники, все точки, для которых 2xy+xz <0 – стоки. На поверхности 2xy+xz = 0 нет ни источников, ни стоков. Точка M – источник, так как .

 

Свойства дивергенции.

1) Линейность.

 

.

2) , где - постоянное векторное поле.

3) , где - скалярное поле.

= = .

Соленоидальное поле и его свойства.

Векторное поле называется соленоидальным в области V, если в любой точке M этой области

Свойства соленоидального поля.

  Необходимость следует из формулы Остроградского – Гаусса, достаточность – из…  

Лекция 9 Формула Стокса.

Ротор векторного поля.

Назовем ротором векторного поля вектор

Свойства ротора.

  = + = .

Теорема Стокса.

Пусть пространственно односвязная область V содержит кусочно-гладкую поверхность с кусочно-гладкой границей . Пусть компоненты векторного поля непрерывны и имеют непрерывные частные… Тогда справедлива формула Стокса

Инвариантное определение ротора.

Рассмотрим произвольную точку M в области V. Проведем через нее поверхность , границей которой служит контур . Пусть поверхность и контур удовлетворяют условиям теоремы Стокса. По теореме о среднем для поверхностного интеграла и формуле Стокса получим

.

Здесь, как и ранее - обозначение области и ее площади. Из этого соотношения, стягивая контур к точке M, получим

Это и есть инвариантное определение ротора.

Правая часть формулы – это поверхностная плотность циркуляции векторного поля (энергии в точке M вращения векторного поля или работы векторного поля при вращении вокруг некоторого направления, определяемого вектором ). Левая часть – это проекция ротора на это направление.

Если направление совпадает с направлением ротора и - единичный вектор, то левая часть равна модулю ротора. Поэтому модуль ротора векторного поля равен максимальному значению поверхностной плотности циркуляции векторного поля.

Левая часть достигает максимума при коллинеарности направления и ротора векторного поля. Поэтому направление ротора векторного поля – это то направление, вокруг которого поверхностная плотность циркуляции векторного поля – наибольшая.

Пример. Найти ротор линейной скорости вращения с постоянной угловой скоростью

 

Векторное поле линейной скорости .

,

 

Ранее была сформулирована теорема о полном дифференциале для пространственной кривой. В ее доказательстве не хватало только одного пункта – перехода от пункта 3) к пункту 2). Все остальное доказывается аналогично случаю плоской кривой.

 

Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой.

5) не зависит от формы дуги (от пути интегрирования), а зависит только от начальной и конечной точек дуги. 6) Для любого замкнутого контура 7)

Потенциальное поле и его свойства.

Векторное поле называется потенциальным, если существует такое скалярное поле (потенциал векторного поля ), что =.

Замечание. Если поле - потенциально, то = - полный дифференциал. Тогда - полный дифференциал. Поэтому свойства потенциального поля можно сформулировать и доказать как следствия теоремы о полном дифференциале.

 

Свойства потенциального поля.

1. Линейный интеграл потенциального поля не зависит от формы дуги L = , а зависит только от начальной и конечной точек дуги.

 

В самом деле, =.

2. Циркуляция потенциального поля равна нулю

 

Полагая дугу АВ замкнутой (A = B), получаем =

3. Потенциальное поле является безвихревым, т.е.

 

Оператор Гамильтона

Оператор Гамильтона .

Применим оператор Гамильтона к скалярному полю .

Оператор Гамильтона представляет собой вектор-оператор. Его можно скалярно или векторно умножить на векторное поле .

Это дифференциальные операции первого порядка над скалярным и векторным полями. От скалярного поля можно взять градиент, от векторного поля можно взять дивергенцию и ротор.

Дифференциальные операции второго порядка.

В результате дифференциальных операций первого порядка мы получаем скалярные и векторные поля .

К ним вновь можно применить дифференциальные операции первого порядка.

От скалярного поля можно взять градиент, получив векторное поле .

От векторных полей можно взять ротор и дивергенцию, получив скалярные поля , и векторные поля , .

Итак, дифференциальные операции второго порядка позволяют получить скалярные поля , и векторные поля , , .

Ранее было показано, что потенциальное поле – безвихревое, т.е. =0.

 

Покажем, что поле ротора – соленоидальное поле, т.е. =0.

Доказательство.

= .

Три остальных векторных поля связаны друг с другом. Это становится ясным, если рассматривать векторные операции с оператором Гамильтона «набла» аналогично обычным векторным операциям. Однако, эти аналогии не совсем верны, см. подробнее о свойствах оператора «набла» выпуск 7 учебника.

=, =

Известно соотношение . Перенося это правила на действия с оператором «набла», получим

.

Здесь - оператор Лапласа (скаляр – оператор).

.

- произведение скаляр-оператора Лапласа на вектор .

 

Гармоническое поле.

- уравнение Лапласа. Векторное поле называется гармоническим,если оно потенциальное (), а потенциал… Теорема.Для того, чтобы векторное поле было гармоническим, необходимо и достаточно чтобы оно было соленоидальным и…

Часть 2. Числовые и функциональные ряды

Лекция 10. Числовые ряды и их свойства.

Примеры 1. 1+- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем . Ее… 2. 1+1+1+…..Сумма этого ряда бесконечна.

Критерий Коши сходимости ряда.

Для того чтобы ряд сходился (последовательность частичных сумм имела конечный предел), необходимо и достаточно, чтобы   Критерий Коши расходимости ряда.(отрицание критерия Коши)

Свойства сходящихся рядов.

  Доказательство. Для второго ряда частичная сумма будет равна . По теореме о…  

Лекция 11 Знакоположительные ряды.

Основная и довольно приятная особенность знакоположительных рядов в том, что…

Интегральный признак Коши.

Доказательство. - это площадь под графиком функции при . Так как (сумма площадей прямоугольников) ограничивает площадь под графиком… . Достаточность. Если интеграл сходится, то , поэтому последовательностьограничена сверху. Так как эта…

Признаки сравнения рядов.

Первый признак сравнения рядов.

Замечание. В силу свойства сходящихся рядов, конечное число членов ряда не влияет на сходимость и неравенство можно проверять «начиная с некоторого…   Доказательство. 1) Пусть ряд сходится. Тогда выполнено неравенство . Поэтому последовательность частичных сумм…

Второй признак сравнения.

Доказательство. Раскроем определение предела. . . Если ряд сходится, то по 1 признаку сравнения ряд сходится (, ряд сходится (свойство сходящихся рядов).

Признак Даламбера.

Конечная форма признака Даламбера.

Пусть , тогда ряд расходится.   Доказательство. Пусть .

Предельная форма признака Даламбера.

Пусть , тогда ряд сходится. Пусть , тогда ряд расходится. Если , то признак не позволяет сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.   Доказательство. Пусть . Тогда .

Радикальный признак Коши.

Конечная форма радикального признака Коши.

 

Пусть , тогда ряд сходится.

Пусть , тогда ряд расходится.

Доказательство. Пусть . Тогда , рядсходится по первому признаку сравнения с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пусть . Тогда , ряд расходится, так как необходимый признак сходимости ряда не выполнен.

 

Предельная форма радикального признака Коши.

Пусть , тогда ряд расходится. Доказательство. Пусть , тогда . при малом . Ряд сходится по конечной форме радикального признака Коши.

Теорема Дирихле о возможности перестановки местами членов ряда в сходящихся знакоположительных рядах.

  Доказательство. Проведем доказательство по индукции. Пусть меняются местами два члена ряда . Тогда в исходном и полученном перестановкой членов ряде частичные суммы,…

Лекция 12. Знакопеременные ряды.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд из модулей членов ряда сходится. Теорема.Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.  

Теорема о перестановке членов в абсолютно сходящихся рядах.

  Доказательство. Обозначим s - сумму ряда , S – сумму ряда . Рассмотрим ряд . Он знакоположительный, так как . Он сходится по первому признаку сравнения рядов по сравнению со…

Теоремы о структуре знакопеременных рядов.

  Пример A

Теорема Римана.

  Доказательство. Так как ряд A условно сходится, то ряды P, Q расходятся… Сам ход доказательства напоминает добавление положительных членов – гирь на одну чашку весов, пока весы не покажут…

Знакочередующиеся ряды.

 

Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если знаки членов ряда чередуются, т.е. ряд имеет вид . Предполагаем, что ряд начинается с положительного члена, .

К знакочередующимся рядам можно применить все теоремы, доказанные выше для знакопеременных рядов. Но есть специальный, очень удобный достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов – признак Лейбница (он не является необходимым признаком).

 

Признак Лейбница.

1. ряд имеет вид (знакочередующийся, ) 2. последовательность монотонно убывает 3.

Функциональные ряды

Лекция 13. Равномерно сходящиеся ряды.

Определим частичную сумму ряда – тоже функцию . Зафиксировав некоторую точку x, мы имеем дело с обычным числовым рядом. Функциональный ряд называется сходящимся в точке x, если сходится к или

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.

Пусть члены функционального ряда можно мажорировать (ограничить по модулю) в области V членами сходящегося числового знакоположительного ряда, . Тогда функциональный ряд равномерно сходится в области V. Доказательство. Так как числовой ряд сходится, то для него выполнен критерий Коши (ряд знакоположителен, ).

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

Теорема о непрерывности суммы ряда.

  Доказательство. Так как ряд сходится равномерно в V, то .

Теорема о почленном переходе к пределу.

 

Пусть ряд равномерно сходится к S(x) в V, тогда

Тогда ряд (ряд из c_n сходится к ).

(без доказательства).

 

Заметим, что суть теоремы содержится в формуле.

, что и оправдывает название теоремы.

 

Теорема о почленном интегрировании.

Пусть непрерывны в V, пусть ряд равномерно сходится в V. Тогда ряд , то есть функциональный ряд можно почленно интегрировать.   Заметим, что суть теоремы содержится в формуле

Теорема о почленном дифференцировании.

.равномерно сходится в V. Тогда ряд можно почленно дифференцировать, причем (= .   Доказательство. Так как ряд сходится равномерно, то его сумма - непрерывная функция (теорема о непрерывности суммы…

Лекция 14. Степенные ряды.

Степенным рядомназывается ряд вида

Степенной ряд заведомо сходится при - центр сходимости ряда.

 

Теорема Абеля.

, симметричном относительно . 2) Пусть степенной ряд расходится в точке . Тогда он расходится в области . …  

Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

Рассмотрим монотонно убывающую последовательность , такую, что в точке степенной ряд расходится. Если выбрать , то степенной ряд будет сходиться (ряд из нулей), поэтому рассматриваемая последовательность ограничена снизу нулем. По теореме Вейерштрасса монотонно убывающая, ограниченная снизу числовая последовательность имеет предел. То есть .

Такое число называется радиусом сходимости степенного ряда. Следовательно, степенной ряд(по теореме Абеля) абсолютно сходится в интервалесходимости степенного ряда.

Определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда.

. Это – знакоположительный числовой ряд. Применим к нему признак Даламбера или радикальный признак Коши. Применяя признак Даламбера, имеем . Отсюда .

Теорема. Степенной ряд равномерно сходится внутри интервала сходимости.

где (не зависит от ). Тогда в области степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку…  

Лекция 15. Ряд Тейлора.

  Рядом Тейлора называется степенной ряд вида (предполагается, что функция… Рядом Маклоренаназывается ряд Тейлора при , то есть ряд .

Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.

Запишем разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций, вычисляя коэффициенты разложения по формуле , где .  

Применение степенных рядов.

1. Вычисление значений функций   Пример. Вычислить arctg 0.3 с точностью .

Содержание

Часть1 Кратные, криволинейные интегралы, теория поля

 

Лекция 1Двойной интеграл.. 2

 

Лекция 2.Приложения двойного интеграла . 6

 

Лекция 3.Тройной интеграл . 10

 

Лекция 4.Приложения тройного интеграла 13

 

Лекция 5.Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства 15

 

Лекция 6.Формула Грина 20

 

Лекция 7Поверхностныйинтеграл. 26

 

Лекция 8Приложения определенного интеграла. 30

 

Лекция 9Формула Стокса 35

 

 

Часть 2 Числовые и функциональные ряды.

  Лекция 11.Знакоположительные ряды 44