Формула Остроградского – Гаусса.

Все темы данного раздела:

Свойства двойного интеграла[5].
  1. Линейность а) свойство суперпозиции .=

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.
  Предположим, что D – плоская область, лежащая в некоторой плоскости и введем в этой плоскости декартову систему координат. Область D назовем правильной, если любая п

Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла.
  К двойному интегралу .мы пришли от задачи об объеме цилиндрического тела, расположенного над областью D с п

Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.
  Пусть поверхность s, площад

Вычисление статических моментов, координат центра тяжести, моментов инерции.
  Пусть задана плотность вещества плоской материальной области D r(x, y). Выделим элементарную ячейку с массой dm и применим к ней известные формулы для материальной точки: С

Замечание о несобственных двойных интегралах.
  Точно так же, как и в определенных интегралах, вводят несобственные двойные интегралы двух типов: интеграл от непрерывной функции по неограниченной области (первого рода) и

Свойства тройного интеграла.
1. Линейность а) =+

Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.
 

Цилиндрическая система координат.
    M

Сферическая система координат.
j x

Свойства криволинейного интеграла первого рода.
  1. Линейность а) свойство суперпозиции б) свойство однородности

Свойства криволинейного интеграла 2 рода.
  1. Линейность а) свойство суперпозиции б) свойство однородности

Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
. Пусть . Запишем . Тогда криволинейный интеграл второго рода мож

Лекция 6. Формула Грина.
    Теорема (формула) Грина. Пусть G – плоская односвязная область с кусочно-гладкой границей L. Пусть функции P(x, y), Q(x, y) непрерывны и имеют непре

Полный дифференциал и его вычисление.
Теорема (о полном дифференциале).Для того чтобы выражение - было полным дифференциалом некоторой функции

Формула Ньютона – Лейбница.
Пусть выполнены условия теоремы о полном дифференциале и пусть выражение - полный дифференциал, а функция

Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой.
Пусть дуга AB лежит на кусочно-гладкой поверхности S, пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные на S. Тогда следующие четыре утверждения эк

Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала.
Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять двумя способами. 1) Можно выбирать удобный путь интегрирования, например, состоящий из отрезков, параллельных OX и OY. На от

Формула Грина для многосвязной области.
  Пусть кусочно-гладкие контуры лежат внутри контура и вне друг друга

Лекция 7. Поверхностные интегралы.
Задача о массе поверхности.   Задача о массе поверхности приводит нас к поверхностному интегралу 1 рода, точно так же, как задача о массе кривой приве

Свойства поверхностного интеграла первого рода.
(они аналогичны по формулировке и доказательству свойствам рассмотренных ранее интегралов первого рода).   1) Линейность.

Вычисление поверхностного интеграла первого рода.
Раньше во второй лекции мы вычисляли площадь поверхности с помощью двойного интеграла, то есть сводили интеграл к двойному интегралу. Теперь

Запись поверхностного интеграла второго рода.
  Запишем вектор перемещений частиц и нормаль в точке M(x, y, z), выделяя скалярные компоненты векторов ,

Скалярное и векторное поля.
Говорят, что в области (плоской или пространственной) задано скалярное полеj (M), если в этой области задана скалярная функция j (M). Говорят, что в области (плоской или п

Скалярные поля.
  Линии уровня плоского поля j (x, y) – кривые, на которых значения функции постоянны j (x, y) = С. Например, линии равной высоты, нанесенные на географическ

Свойства соленоидального поля.
1) Для того чтобы поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы поток через любую замкнутую поверхность равнялся нулю.   Необходимость следует из формулы Остроград

Свойства ротора.
1) Линейность  

Теорема Стокса.
  Пусть пространственно односвязная область V содержит кусочно-гладкую поверхность с кусочно-гладкой границей

Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой.
Пусть дуга AB лежит на кусочно-гладкой поверхности S, пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные на S. Тогда следующие четыре утверждения эк

Гармоническое поле.
Скалярное поле называется гармоническим, если

Лекция 10. Числовые ряды и их свойства.
Числовой ряд– это сумма бесконечного количества чисел, выбранных по определенному алгоритму. Обычно задают формулу общего

Критерий Коши сходимости ряда.
(Это – критерий Коши для последовательности частичных сумм ряда). Для того чтобы ряд сходился (последовательность частичных сумм имела конечный предел), необходимо и до

Свойства сходящихся рядов.
1. Члены сходящегося ряда можно умножить на одно и то же число k. Полученный ряд будет сходиться, а сумма его будет в k раз больше суммы исходного ряда.   Доказательство.

Лекция 11 Знакоположительные ряды.
Числовой ряд называется знакоположительным, если все его члены – положительные (неотрицательные) числа.

Интегральный признак Коши.
   

Первый признак сравнения рядов.
Пусть выполнено неравенство . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда

Второй признак сравнения.
Пусть . Тогда ряды и сх

Конечная форма признака Даламбера.
Пусть , тогда ряд сходится. Пусть

Предельная форма признака Даламбера.
  Пусть , тогда ряд сходится. Пусть

Предельная форма радикального признака Коши.
Пусть , тогда ряд сходится. Пусть

Теорема Дирихле о возможности перестановки местами членов ряда в сходящихся знакоположительных рядах.
Пусть - сходящийся знакоположительный ряд. Тогда его члены можно переставлять, менять местами, полученный ряд будет сходиться и иметь ту же

Лекция 12. Знакопеременные ряды.
Ряд называется знакопеременным, если среди членов ряда содержится бесконечное количество отрицательных членов и бесконечно

Теорема о перестановке членов в абсолютно сходящихся рядах.
Пусть ряд абсолютно сходится, тогда его члены можно переставлять, получая абсолютно сходящийся ряд с той же суммой.  

Теоремы о структуре знакопеременных рядов.
Обозначим - положительные члены, - отрицательные члены знакопеременного ряда. A –

Теорема Римана.
Пусть S – произвольное число (конечное или бесконечное). Тогда можно так переставить местами члены условно сходящегося знакопеременного ряда, что его сумма будет равна S.  

Признак Лейбница.
Пусть 1. ряд имеет вид (знакочередующийся,

Лекция 13. Равномерно сходящиеся ряды.
Функциональный ряд – это ряд , члены которого – функции , определенные в н

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.
  Пусть члены функционального ряда можно мажорировать (ограничить по модулю) в области V членами сходящегося числового знакоп

Теорема о непрерывности суммы ряда.
Пусть члены функционального ряда - непрерывные функции в точке

Теорема о почленном интегрировании.
  Пусть непрерывны в V, пусть ряд равномерно сходится в V. Тогда ря

Теорема о почленном дифференцировании.
Пусть непрерывны в V. Пусть ряд сходится в V, а ряд

Теорема Абеля.
1) Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он абсолютно сходится в интервале

Определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда.
Зафиксируем некоторое значение x и запишем ряд из модулей членов степенного ряда . Это – знакоположительный числовой ряд. Применим

Теорема. Степенной ряд равномерно сходится внутри интервала сходимости.
Доказательство. Пусть . Выберем , например

Лекция 15. Ряд Тейлора.
Ряд Тейлора.   Рядом Тейлора называется степенной ряд вида (предполагается, что фу

Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.
  Запишем разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций, вычисляя коэффициенты разложения по формуле , где

Применение степенных рядов.
  1. Вычисление значений функций   Пример. Вычислить arctg 0.3 с точностью .

Часть 2 Числовые и функциональные ряды.
Лекция 10.Числовые ряды и их свойства 41   Лекция 11.Знакоположительные ряды 44   Лекция 12.Знакопер