Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой.

Пусть дуга AB лежит на кусочно-гладкой поверхности S, пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные на S. Тогда следующие четыре утверждения эквивалентны.

5) не зависит от формы дуги (от пути интегрирования), а зависит только от начальной и конечной точек дуги.

6) Для любого замкнутого контура

7)

8) . - полный дифференциал.

 

Теперь переход от пункта 3) к пункту 2) легко сделать по формуле Стокса.

 

Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять по формуле

= , так как интеграл не зависит от формы дуги (пути интегрирования).

Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять также по формуле Ньютона – Лейбница

= , где - потенциал векторного поля ().