Пусть . Тогда ряды и сходятся или расходятся «одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится.
Доказательство. Раскроем определение предела. .
.
Если ряд сходится, то по 1 признаку сравнения ряд сходится (, ряд сходится (свойство сходящихся рядов).
Если ряд сходится, то ряд сходится (свойство сходящихся рядов), тогда по 1 признаку сравнения ряд сходится.
Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по предыдущему ряд сходится (противоречие).
Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по предыдущему ряд сходится (противоречие).
Пример. Ряд с расходится по второму признаку сравнения (ряд сравнения – гармонический ряд).
Ряд сходится. - ограничена. Ряд сравнения - сходящийся ряд Дирихле.