Пусть члены функционального ряда можно мажорировать (ограничить по модулю) в области V членами сходящегося числового знакоположительного ряда, .
Тогда функциональный ряд равномерно сходится в области V.
Доказательство. Так как числовой ряд сходится, то для него выполнен критерий Коши (ряд знакоположителен, ).
Тогда
.
Следовательно, выполнен критерий Коши равномерной сходимости ряда, и ряд сходится в области V равномерно.
Пример. Ряд сходится равномерно в R, так как - сходящийся числовой ряд.