Пусть непрерывны в V, пусть ряд равномерно сходится в V. Тогда ряд , то есть функциональный ряд можно почленно интегрировать.
Заметим, что суть теоремы содержится в формуле
Доказательство. Так как ряд равномерно сходится в V, то его сумма S(x) непрерывна (теорема о непрерывности суммы ряда) и
Так как непрерывны, то . Составим ряд , покажем, что он сходится к Обозначим частичную сумму
Так как ряд равномерно сходится в V, то .
Оценим .