1) Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он абсолютно сходится в интервале
, симметричном относительно .
2) Пусть степенной ряд расходится в точке . Тогда он расходится в области .
Доказательство.
1) Пусть степенной ряд сходится в точке , тогда числовой ряд сходится. Тогда по необходимому признаку сходимости ряда . Тогда .
Рассмотрим произвольное, но фиксированное .
Оценим ,
где .
По первому признаку сравнения числовых знакоположительных рядов ряд сходится в указанной области (сравнение с бесконечно убывающей геометрической прогрессией . Следовательно, в области степенной ряд абсолютно сходится.
2) Пусть степенной ряд расходится в точке . Рассмотрим . Если бы ряд сходился в точке x, то он по п. 1 доказательства сходился бы в точке . Противоречие.
Замечание. Для каждой точки x константа q(x) своя. Может не найтись константы, меньшей единицы и ограничивающей сверху константы q(x) для всех точек области V.
Поэтому абсолютная сходимость есть, но равномерной сходимости степенного ряда в области V не гарантируется.
Если такая константа найдется, то гарантируется равномерная сходимость ряда.