Зафиксируем некоторое значение x и запишем ряд из модулей членов степенного ряда
. Это – знакоположительный числовой ряд. Применим к нему признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Применяя признак Даламбера, имеем
. Отсюда .
Поэтому .
Применяя радикальный признак Коши, имеем
.
Так определяется радиус сходимости степенного ряда.
Затем исследуется сходимость ряда на границе интервала сходимости, в точках Эти точки подставляются в исходный ряд, ряд становится обычным числовым рядом и исследуется стандартными методами для числовых рядов.
Пример. .
Составим ряд из модулей , применим радикальный признак Коши .
Радиус сходимости R=5, интервал сходимости (-2, 8). Исследуем сходимость ряда на границе, подставляя точки x= -2, в исходный ряд..
В точке x = -2 имеем ряд - гармонический ряд, он расходится.
В точке x = 8 имеем ряд - сходящийся (по признаку Лейбница) знакочередующийся ряд.
Область сходимости исходного ряда (-2, 8].