Применение степенных рядов.

 

1. Вычисление значений функций

 

Пример. Вычислить arctg 0.3 с точностью .

По следствию из признака Лейбница остаток числового знакочередующегося ряда оценивается модулем первого отброшенного члена.

. Из этого неравенства найдем n, n=2. .

 

Если разложение – знакопостоянный ряд, то надо подобрать какой-либо мажорантный ряд с известной суммой, например, оценить сверху члены ряда членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии и оценку суммы ряда проводить по сумме прогрессии.

 

2. Вычисление интегралов.

Пример. Вычислить

 

3. Решение дифференциальных уравнений.

 

Пример.

1 способ. Представим в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами до (n – заранее определено). Это разложение подставляется в левую и правую часть, и приравниваются коэффициенты при равных степенях x. Решается система алгебраических уравнений и определяются коэффициенты.

 

.

Заметим, что при дифференцировании степень понижается на единицу, поэтому в разложении нужно запасать членов на k больше n, где k – порядок дифференциального уравнения.

Разложение проводится по степеням (x - x₀₎, если начальные условия заданы в точке x₀.

В данном уравнении производится разложение в ряд Маклорена, так как начальное условие задано в нуле.

.

Подставляем разложения в правую и левую части уравнения .

= . .

Удерживаем в разложении члены четвертых степеней, в коэффициентах при x⁵ будут

Отсюда

2 способ. Представим в виде ряда Тейлора.