Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами.

Введение

В школьном курсе математики рассматривались операции «+», «–», «•», «:» над числами. При этом были установлен ряд свойств этих операций: переместительности (коммутативности), сочетательности (ассоциативности), распределительности (дистрибутивности). В курсе алгебры на ряду с операциями над числами так же рассматриваются операции над произвольными множествами, удовлетворяющими тем или иным свойствам. Непустое множество М с заданной на нем совокупностью операций Ω (омега) называется алгеброй.

На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и отношения над числами: «<», «», «>», «», а так же отношение параллельности, перпендикулярности прямых. Непустое множество М с заданными на нем совокупностью операций Ω и совокупностью отношений Ω₁ называется алгебраической системой.

Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем. Курс алгебры находит обширное применение в различных разделах науки: геометрии, топологии, теоретической физике, электротехнике, кибернетике.

Элементы теории множеств

Понятие множества.

Подмножество. Операции над множествами.

Диаграммы Эйлера-Венна.

Понятие множества является первичным, исходным и не определяется через другие более простые понятия. Под множеством понимают совокупность объектов,… Î – знак принадлежности аÎА – “а принадлежит множеству А”

Равенство множеств.

Метод встречных включений.

Свойства операций над множествами.

Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А. Теорема 1. Пусть А и В – множества. А=В ⇔ А⊆В и В⊆А. Доказательство равенства множеств на основании теоремы 1 носит название метода встречных включений.

Прямое (декартово) произведение множеств.

Определение 12. Упорядоченная n-ка вида (a1,a2,..,an) называется кортежем длины n. Определение 13. Прямым (декартовым) произведением множеств A1, A2,.., An… Замечание 5. Множество называется n-й прямой степенью множества A, и обозначается An, т.е. An =. В частности A2=AA -…

Бинарные отношения между множествами.

В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерами отношений являются: 1) «» - на множестве ℝ. 2) «» - на множестве P(U).

Виды бинарных отношений.

Операции над бинарными отношениями.

Определение 20. Бинарное отношение R на множестве А называется рефлексивным, если для любого aА (а,a)R.

Определение 21. Бинарное отношение R на множестве А называется антирефлексивным, если для любого аА (a,a)R.

Определение 22.Бинарное отношение R на множестве А называется симметричным, если из (а,b)R всегда следует, что (b,a)R, a,bA.

Определение 23.Бинарное отношение R на множестве А называется антисимметричным, если из (а,b)R и (b,a)R всегда следует, что a=b, a,bA

Определение 24.Бинарное отношение R на множестве А называется транзитивным, если из (а,b)R и (b,с)R всегда следует, что (а,с)R, a,b,сA.

Пусть =(a,a) ∣ aA- диагональ декартова квадрата A²=AA.

Определение 25. Пусть R - бинарное отношение между множествами A и B. Множество R^-1={(y,x) ∣ (x,y)∈R} называется бинарным отношением, обратным бинарному отношению R.

Лемма 1. Пусть R - бинарное отношение на множестве A. Тогда

1) R рефлексивно на А R;

2) R антирефлексивно на А R = ;

3) R симметрично на А R= R^-1;

4) R антисимметрично на А RR^-1.

Доказательство: Докажем, например, свойство 1).

Необходимость. Пусть R рефлексивно. Покажем, что R. Действительно, так как R рефлексивно, то по определению 20 для любого aA (а,а)R . Следовательно, R.

Достаточность. Пусть R. Покажем, что R рефлексивно. Пусть аА. Покажем (а,а)R. Т.к. (а,а)R, т.е. (а,а)R по определению 20, R рефлексивно на А.

Свойства 2)-4) доказываются аналогично.

Лемма доказана.

Определение 26. Пусть R, S - бинарные отношения на множестве А. Множество R•S={(x,z) | yA: (x,y)S и (y,z)R} называется произведением бинарных отношений R и S.

Лемма 2. Пусть R - бинарное отношение на множестве A. Тогда R транзитивно R•RR.

 

 

Отношение эквивалентности.

Разбиение множества на классы эквивалентности.

Фактормножество.

Определение 28. Пусть А - непустое множество. Совокупность А1,...,Аn,... непустых подмножеств множества А называется разбиением множества А на… Теорема 2. Пусть R - отношение эквивалентности на множестве А. Тогда множество… Доказательство. Пусть R отношение эквивалентности на А. Пусть аА, ={xA| (a,x)R} Отметим, что A, аА. Покажем что…

Отношение порядка и предпорядка.

Отношение строгого, нестрогого и линейного порядка.

Упорядоченное множество.

Определение 31. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением предпорядка, если оно рефлексивно и транзитивно на А. Определение 32. Отношение порядка R на множество А называется отношением… Определение 33. Отношение порядка R на множество А называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно на…

Функциональное отношение.

Функция как бинарное отношение.

Определение 42. Функциональное отношение f между множествами A и B называется функцией или отображением A в B, если Dom f=A, и обозначается f : AB… Замечание 7. Если f: AB – функция, то каждому элементу aA соответствует… Определение 43. Пусть f: AB функция, aA, bB. Если f(a)=b, то b называется образом элемента a при отображении f;…

Произведение функций.

Теорема об ассоциативности произведения функций.

Определение 51. Функции f и g называются равными, если их соответствующие области совпадают и f(x)=g(x) x∈X. Теорема 4. Пусть f: XY, g: YZ, h: ZT – функции. Тогда h(gf)=(hg)f, то есть… Доказательство. Пусть f: XY, g: YZ, h: Z T – функции. Покажем, что h(gf)=(hg)f.

Тождественное отображение.

Обратимое отображение.

Замечание 9. Пусть - функция, тогда f=f⋅ ex и ey⋅f=f. Доказательство. .

Критерий обратимости функции.

Доказательство. Необходимость. Пусть f – обратимая функция. Покажем, что f – биекция. Т.к. f – обратима, то по определению 53 существует такая что,… Достаточность. Пусть f – биекция. Покажем, что f – обратимая функция. Пусть - функция, заданная по правилу: g(b)=a f(a)=b (*). Покажем, что g – функция, обратная для f. Пусть . Так как f…

Натуральный ряд чисел.

Аксиомы Пеано.

Метод математической индукции.

Определение 54. Непустое множество ℕ с определённым на нём отношением ' (“непосредственно следующий за”) называется натуральным рядом чисел, а… Р1: существует натуральное число, обозначаемое 1, которое непосредственно не… Р2: для любого натурального числа существует единственное натуральное число, непосредственно следующее за ним, то есть…

Основные алгебраические

Структуры.

1. Операции на множествах.

Свойства бинарных операций.

  Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М… Замечание 1. На множестве М≠∅ может существовать несколько различных бинарных операций, которые…

Группоид, полугруппа, моноид.

Полугруппа с сокращением.

Замечание 4. Если на множестве М задана бинарная алгебраическая операция «∗», то для любых существует единственный элемент ∗. В этом… Определение 11. Группоид <M, ∗> называется полугруппой, если… Определение 12. Полугруппа <M, ∗> называется моноидом, если в М существует нейтральный элемент…

Группа.

Простейшие свойства групп.

1) операция «∗» ассоциативна на G ,т. е. а∗(b∗c) = (a∗b)∗c для любых a, b, c∈G. 2) в G существует нейтральный элемент относительно операции «∗», т. е.… 3) в G для любого элемента существует симметричный ему элемент, т. е. для любого a∈G ∃a'∈G :…

Подгруппа. Критерий подгруппы.

Определение 21. Если Н≤G и H≠G, то Н называется подгруппой группы G, собственно содержащейся в G. Обозначается H<G. Замечание 6. Любая группа G имеет следующие подгруппы: G≤G,… Определение 22. Подгруппы Е и G группы G называются тривиальными подгруппами группы G. Все остальные подгруппы группы…

Пересечение подгрупп.

Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.

Доказательство. Пусть a1, a2∈A. Тогда, по определению пересечения множеств, получим a1, a2∈Hi, i∈I. Так как Hi≤G, i∈I,… Теорема доказана. Определение 23. Пусть <G, ∗>, <G1, ∘> - группы. Отображение GG1 называется гомоморфным…

Кольцо.

Простейшие свойства колец.

1) K – аддитивная абелева группа, то есть а) а+(b+c)=(a+b)+c для любых a, b, c∈K; b) ∃0∈K : a+0=0+a=a, для любого a∈K;

Подкольцо. Критерий подкольца.

Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.

Теорема 9 (критерий подкольца). Пусть K – кольцо, H - непустое подмножество K. H является подкольцом кольца K… 1) для любых h1, h2∈H (h1-h2)∈H;

Простейшие свойства полей.

1) Р – аддитивная абелева группа, то есть а) а+(b+c)=(a+b)+c для любых a, b, c∈Р; b) ∃0∈Р : a+0=0+a=a, для любого a∈Р;

Подполе. Критерий подполя.

Изоморфизм полей.

Теорема 10 (критерий подполя). Пусть Р – поле, Н ≠ Æ, ∣Н∣≥2, Н Í Р. Н… 1) для любых h1, h2 ∈H: h1 – h2 ∈H;

Комплексные числа и многочлены

 

 

Определение и построение

Поля комплексных чисел.

Определение 1. Полем комплексных чисел называется поле, являющееся расширением поля ℝ, в котором уравнение x2+1=0 имеет, по крайней мере, один… Замечание 1. Чтобы доказать существование такого поля, необходимо построить… Определение 2. Элементы множества ℂ называются комплексными числами.

Алгебраическая форма записи

Комплексного числа.

z=(a, b)=(a, 0)+(0, b)=a+(0, b). Учитывая то, что (0, b)=(b, 0)⋅(0, 1), элемент (0, b) можно отождествить с элементом bi. Тогда z=(a, b)=a+(0,… Замечание 3. В алгебраической форме удобно производить над комплексными… Определение 6. Комплексные числа z=a+bi и =a-bi называются комплексно сопряженными.

Тригонометрическая форма записи

Комплексного числа.

Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b). b М (а, b) φ

Произведение и деление комплексных чисел

В тригонометрической форме.

Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Доказательство. Пусть z1=r1(cos φ1+isin φ1) и z2=r2(cos φ2+isin… Теорема доказана.

Возведение в степень комплексного числа

В тригонометрической форме.

Формула Муавра.

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение… Теорема 6. Пусть z=r(cos φ+isin φ), n∈ℕ. Тогда zn=rn(cos… Доказательство (методом математической индукции).

Из комплексного числа в

Тригонометрической форме.

Формула Муавра.

Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1n=z. Обозначается . … Теорема 7. Пусть z=r(cos φ+isin φ), n∈ℕ. Тогда , где –… Доказательство. Пусть , где z1=r1(cos φ1+isin φ1). Тогда z1n=z и z1n=r1n(cos nφ1+isin nφ1).…

Первообразные корни.

Теорема 8. Если некоторый корень n-ой степени из комплексного числа z умножить на все корни n-ой степени из единицы, то получим все корни n-ой… Теорема 9. Множество С={ε0=1, ε1,…, εn-1} всех корней n-ой… Определение 12. Корень εk n-ой степени из единицы называется первообразным корнем, если он не является корнем…

Понятие многочлена.

Кольцо многочленов от одной переменной.

В школьном курсе подробно рассматривались следующие случаи: n=1: f(x)=a0+a1x–линейная функция; n=2: f(x)=a0+a1x+a2x2 – квадратичная функция.

Степень многочлена.

Свойства степени многочлена.

Замечание 9. По определению полагают, что степень нулевого многочлена равна , т.е. deg 0 . Таким образом, если , то deg. Теорема 12. Пусть K – ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей,… 1) deg(+)max{deg, deg};

Многочлены

Над областью целостности.

Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что K[х] – область целостности. Так как axn⋅bxm=a⋅b⋅xn+m=b⋅a⋅xn+m=bxm⋅axn,… В силу того что…

Деление многочлена на линейный двучлен.

Теорема Безу. Корни многочлена.

Определение 21. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, f(x)=a0+a1x+…+anxnK[x] (т.е. f(x)=), cK. Элемент а0+а1с+а2с2+…+аncnK… Теорема 14 (теорема Безу). Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с… Доказательство. Пусть f(x)=a0+a1x+…+anxnK[x]. Тогда f(c)=a0+a1c+…+ancn. Вычтем из f(x) f(c). Получим…

Теорема о наибольшем возможном числе корней

Многочлена над областью целостности.

Теорема 15. Пусть K – область целостности, f(x)=а0+а1х+а2х2+…+аnxnK[x], аn 0. Тогда многочлен f(x) имеет не более n попарно различных корней.… Доказательство. Доказательство проведём методом математической индукции по… 1) Пусть n=0 f(x)=a0 f не имеет корней, т.е. f имеет нуль корней и значит 00=n - верно.

Алгебраическое и функциональное

Равенство многочленов.

Определение 24. Многочлены f , gназываются функционально равными, если , т.е. значения многочленов f и g в любой точке кольца K совпадают. Теорема 16. Пусть K – бесконечная область целостности, . Многочлены f и g… Доказательство. Необходимость. Пусть , - многочлены, равные алгебраически = f и g равны функционально.

Многочлены над полем.

Теорема о делении с остатком для многочленов.

Доказательство. 1. Существование. Если f(x)=0, то q(x)=0, r(x)=0, причем deg r(x)= −< deg g(x)0. Если deg f(x)<deg g(x), то q(x)=0,… Пусть f(x)0 и deg f(x)deg g(x). Пусть f(x)=ao+a1x+…+anxn, g(x)=bo+b1x+…+bmxm.… 1) Пусть n=0. Тогда f(x)=ao и, так как n≥m, то g(x)=bo, причем deg r(x)= −<0=deg g(x).

Схема Горнера.

Пусть F - поле, f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+a_n-1x+a_n∈F[x] – многочлен, записанный по убывающим степеням. Пусть с∈F. Разделим f(x) на (х-с). По теореме Безу, существует q(x)∈F[x]: f(x)=(x-c)·q(x)+f(c) (1), где f(c)=r. Пусть q(x)=b₀x^n-1+b₁x^n-2+…+b_n-2x+b_n-1. Подставим в (1) выражения для f и q:

(2) a₀xⁿ+a₁x^{n -1}+…+a_{n -1}x+a_n=(x-c)·(b₀x^{n -1}+b₁x^{n -2}+…+b_{n -2}x+b_{n -1})+r.

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях переменной:

и

Система (1) позволяет разделить многочлен f(x) на (х-с), т.е. получить коэффициенты частного и остаток. Систему (4) удобно записывать в виде схемы, которая называется схемой Горнера.

 

коэффициенты f(x)

 

	a0	a1	a2	……	an -1	an
с	b0	b1	b2	……	bn -1	bn

 

коэффициенты q(x) r=f(c)

Определение 25. Пусть F – поле. Многочлен f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+a_n-1x+a_n∈F[x] называется нормированным, если a₀=0.

Определение 26. Пусть K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, f(x)∈K[x], c∈K - корень многочлена f(x). Число k называется кратностью корня c многочлена f(x), если (x-c)^k∣f(x), но (x-c)^k+1∤f(x). Если k=1, то c называется простым корнем многочлена f(x).

 

Разложение многочлена

Пусть F - поле, f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an∈F[x], c∈F. Найдем разложение многочлена f(x) по степеням (x-с), т.е. найдем представление… f(x)=d0(x-c)n+d1(x-c)n-1+ d2(x-c)n-2+…+ dn -1(x-c)+dn . Разделим f(x) на (x-c), при этом получим искомое частное q1 и остаток r0. Далее, разделим частное q1 на (x-c), при…

Формальная производная многочлена.

Нетрудно проверить, что формальная производная многочлена удовлетворяет следующим свойствам: 1) (f +g)=f + g; 2) (f·g)=f ·g + f ·g;

Алгебраически замкнутое поле.

Основная теорема алгебры.

Определение 28. Поле F называется числовым, если оно является числовым множеством, то есть если Fℂ. Основными числовыми полями являются ℚ, ℝ, ℂ. Рассмотрим… Определение 29. Поле F называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен положительной степени под полем F…

Матрицы, определители

И их приложения.

Системы линейных уравнений.

Решение системы линейных уравнений.

(1) , где , поле, называется системой m линейных уравнений с n неизвестными над полем , - коэффициенты при неизвестных, , , - свободные члены… Определение 2. Упорядоченная n-ка (), где , называется решением системы… Определение 3. Система линейных уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном…

Матрицы.

Элементарные преобразования матриц.

Матрица ступенчатого вида.

, где aij P, i=, j=. Определение 11. Квадратной матрицей n-го порядка над полем P называется… Пусть A – квадратная матрица n-го порядка. Тогда в А выделяют 2 диагонали: главную и побочную.

Метод последовательного исключения неизвестных

Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или… (1) . В системе (1) хотя бы один из коэффициентов при не равен 0. В противном случае (1) - система уравнений с ()…

Операции над матрицами

И их основные свойства.

Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой матриц А и В называется матрица С=(cij) размера m×n над… 2. Умножение матрицы на скаляр. Определение 17. Пусть A=(aij) – матрица размера m×n над полем P, P. Произведением матрицы А на элемент…

Обратимые матрицы.

Критерий обратимости матрицы.

Матричные уравнения.

Замечание 9. Если А – матрица размера m×n над полем Р, то АЕn=EnA=A. Определение 23. Матрица А n-го порядка над полем Р называется обратимой, если… Определение 24. Матрица А называется невырожденной (неособенной), если ее вектор-строки образуют линейно независимую…

Теорема о четности перестановки.

Пример 2. Пусть М={1,2,3}. Тогда перестановки на М имеют вид: I1=(132), I2=(231), I3=(123) и т.д. Определение 28. Инверсией или беспорядком перестановки I называется любая пара… Пример 3. В перестановке I2=(231) две инверсии: 31 и 21.

Определители второго и третьего порядков.

Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произведения, состоящие из n множителей, любые два различных из которых находятся в разных… Так как j1,j2,…,jn – попарно различные элементы из множества М={1,2,…,n}, то… Рассмотрим выражение вида: (-1)(I) (1), где I=(j1j2…jn).

Разложение определителя по ряду.

Алгебраическое дополнение и минор к элементу определителя.

Связь алгебраических дополнений с минорами.

Определение 31. Если в определителе Δ сгруппировать все слагаемые, содержащие элемент и, сгруппировав, вынести элемент за скобки, то выражение,… Так как все элементы i-той строки определителя Δ входят в одно и только… Аналогично: Δ=a1jA1j+ a2jA2j+ … + anjAnj (2) - разложение определителя Δ по j-тому столбцу, j =.

Определитель произведения матриц.

Доказательство. а) Пусть А – вырожденная матрица. Тогда по теореме 8 |A|=0. Далее, так как матрица А вырождена, то по лемме 3, АВ – вырожденная… б) Пусть А – невырожденная матрица. Тогда с помощью элементарных… А=(A-1)-1=(Sp∙…∙S1)-1=S1-1∙S2-1∙…∙Sp-1. (Действительно, (C1C2)-1=C2-1C1-1, так как…

Формула для вычисления обратной матрицы.

Если определитель =0, то А-1, причем А-1=, где Аij - алгебраическое дополнение к элементу аij в матрице А, i=, j=. Доказательство. Так как А – невырожденная матрица. Тогда, по теореме 3, А –… АВ==

Формулы Крамера.

=, … , =. Доказательство. Пусть Х=, В=. Тогда система (1) равносильна матричному…