Метод математической индукции. - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами. На Любое Натуральное Число Можно Смотреть С Двух Точек Зрения. Например, 3-Тр...
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вводится отношение '(штрих) - “непосредственно следовать за”. Например, а' - элемент, непосредственно следующий за а.
Определение 54. Непустое множество ℕ с определённым на нём отношением ' (“непосредственно следующий за”) называется натуральным рядом чисел, а его элементы - натуральными числами, если выполняются следующие аксиомы, называемые аксиомами Пеано:
Р1: существует натуральное число, обозначаемое 1, которое непосредственно не следует ни за одним натуральным числом, то есть а'≠1, ℕ.
Р2: для любого натурального числа существует единственное натуральное число, непосредственно следующее за ним, то есть если а = b, то а' = b'.
Р3: любое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом, то есть если а' =b ', то а =b.
Р4: пусть М⊆ℕ. Если 1М и из аМ всегда следует, что а'М, то М=ℕ – аксиома индукции.
Лемма 4.аℕ а' ≠ а.
Доказательство. Пусть М – множество всех натуральных чисел а, для которых а' ≠ а => М ℕ. Покажем, что 1 М. По аксиоме (Р1): 1'≠1=> 1М. Пусть аМ =>а' ≠ а => (по (Р3)) (а')' ≠ а’’ => а'М. Таким образом, по аксиоме (Р4) М =ℕ => а' ≠ а, ℕ.
Лемма доказана.
Теорема 6(теорема Евклида).Множество всех натуральных чисел бесконечно.
Теорема 7(основная форма метода математической индукции).
Пусть утверждение Т истинно при n=1 и из истинности утверждения Т при n=k следует истинность утверждения Т при n=k+1. Тогдаутверждение Т истинно для любого nℕ.
Доказательство. Пусть М - множество всех натуральных чисел, для которых утверждение Т истинно. Покажем, что М=ℕ. По заданному М: Мℕ. Так как Т истинно при n=1, то 1М. По условию теоремы Т истинно при n=k. Тогда по условию Т истинно при n=k+1=k' =>k'М. По Р4: М=ℕ => Т - истинно ℕ.
Теорема доказана.
Теорема 8(Обобщение первой формы метода математической индукции).
Пусть утверждение Т истинно при n=n0и из истинности утверждения Т при n=k следует истинность утверждения Т при n=k+1. Тогдаутверждение Т истинно для любого nℕ.
Теорема 9(вторая форма метода математической индукции).
Пусть утверждение Т истинно при n=1 и из истинности утверждения Т для любого натурального числа, меньшего k, следует истинность утверждения Т для k. Тогдаутверждение Т истинно для любого nℕ.
Теорема 10(обобщение второй формы метода математической индукции).
Пусть утверждение Т истинно при и из истинности утверждения Т для любого натурального числа, меньшего k и большего либо равного , следует истинность утверждения Т для k. Тогда утверждение Т истиннодля любого nℕ.
Замечание 11. Доказательство утверждений методом математической индукции состоит из трёх этапов:
1. Базис индукции. Проверим, что утверждение верно при n= 1 ()
2. Индукционное предположение. Предположим, что утверждение верно при n=k (для основной формы).
3. Индукционное доказательство. Докажем, что утверждение верно при n=k+1.
В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций... На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и... Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Метод математической индукции.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Диаграммы Эйлера-Венна.
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо
Свойства операций над множествами.
Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А.
Теорема 1. Пусть
Бинарные отношения между множествами.
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар.
В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам
Фактормножество.
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А.
Опр
Упорядоченное множество.
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А.
Определение 31. Би
Функция как бинарное отношение.
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)
Свойства бинарных операций.
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М
Полугруппа с сокращением.
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>.
За
Простейшие свойства групп.
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):
Подгруппа. Критерий подгруппы.
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об
Простейшие свойства колец.
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K
Простейшие свойства полей.
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия:
1) Р
Изоморфизм полей.
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т
Поля комплексных чисел.
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас
Комплексного числа.
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму
Комплексного числа.
Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).
В тригонометрической форме.
Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Доказательство. Пусть z1
Формула Муавра.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3
Формула Муавра.
Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1
Первообразные корни.
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,
Кольцо многочленов от одной переменной.
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2
Над областью целостности.
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности.
Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что
Теорема Безу. Корни многочлена.
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен
Матрица ступенчатого вида.
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:
Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса).
Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач
И их основные свойства.
1. Сложение матриц.
Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой
Матричные уравнения.
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей.
Замечание 9. Если А –
Теорема о четности перестановки.
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл
Определитель произведения матриц.
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей
Новости и инфо для студентов