Свойства бинарных операций. - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами.
Определение 1. Бинарной Алгебраической...
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М, не обязательно различным, взятым в определенном порядке, ставится в соответствие единственный элемент множества М. Обозначается: φ(a, b)=c, aφb=c.
Замечание 1. На множестве М≠∅ может существовать несколько различных бинарных операций, которые обозначаются символами φ, ∘, ∗, ⋅, + и т.д. Вместо ∗(a, b) пишут a∗b.
Определение бинарной алгебраической операции можно сформулировать также следующим образом.
Определение 1'.Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется отображение .
Определение 2. Непустое множество М с определенными на нем алгебраическими операциями и отношениями называется алгебраической системой.
Пусть 1 – совокупность некоторых алгебраических операций на множестве М≠∅, 2 – совокупность некоторых отношений на множестве М≠∅. Тогда полученную алгебраическую систему обозначают <M, 1, 2 >.
Определение 3. Непустое множество М с определенными на нем алгебраическими операциями называется алгеброй.
Определение 4. Пусть М – некоторое непустое множество. Отображение называется n-арной или n-местной операцией на множестве М, где
Замечание 2. При n=0 операция называется нульарной; при n=1 – унарной; при n=3 – тернарной.
Пример 1. 1) Унарной операцией является нахождение дополнения ко множеству, то есть .
2) Бинарными на множествах ℕ, ℤ, ℚ, ℝ являются операции «⋅», «+»;
на множествах ℤ, ℚ, ℝ бинарной алгебраической является операция «-»; операция «:» алгебраической на множествах ℤ, ℚ, ℝ не является.
3) Операция нахождения НОД целых чисел а1, а2, …,аn является n-арной на множестве ℤ.
Определение 5. Пусть «∗» – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М. Операция «∗» называется
· коммутативной на множестве М, если a,bМ: a∗b = b∗a.
· ассоциативной на множестве М, если a, b, cМ: (a∗b)∗c = a∗(b∗c).
Определение 6. Пусть «∗» – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М. Элемент называется правым (левым) нейтральным элементом относительно операции «∗», если ∗(∗) для любого .
Определение 7. Пусть «∗» – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М. Элемент называется правым (левым) симметричным элементом для элемента относительно операции «∗», если ∗(∗), где - правый (левый) нейтральный элемент множества М относительно операции «∗».
Определение 8. Если элемент является правым и левым нейтральным элементом относительно операции «∗», то он называется нейтральным элементом в М относительно операции «∗», причем для любого ∗∗.
Определение 9. Если правый симметричный элемент для элемента относительно операции «∗» является и левым симметричным элементом, то называется симметричным для элементом, причем ∗∗.
Замечание 3. На практике наиболее часто бинарная операция обозначается «⋅» - операция умножения или «+» - операция сложения. В этом случае правый (левый) нейтральный элемент относительно операции «⋅» называется правым (левым) единичным элементом; относительно операции «+» - правым (левым) нулевым элементом. Правый (левый) симметричный элемент для элемента а относительно операции «⋅» называется правым (левым) обратным к а и обозначается а-1; относительно операции «+» - правым (левым) противоположным к а и обозначается –а.
Теорема 1 (свойство нейтрального элемента).
Пусть «∗» – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М. Если в М существует нейтральный элемент относительно операции «∗», то он единственен.
Доказательство. Пусть е1, е2 – нейтральные элементы в М относительно операции «∗». Покажем, что е1=е2.
Так как е1 – нейтральный элемент относительно операции «∗», то, по определению 8, получим a∗e1=e1∗a=a,aМ. В частности e2∗e1=e1∗e2=e2 (1). Далее, так как е2 – нейтральный элемент относительно операции ∗, то e2∗a =a∗e2=aaМ и e2∗e1=e2∗e1=e1 (2). Из (1) и (2), в силу единственности элемента e2∗e1,следует, что е1=е2 .
Теорема доказана.
Теорема 2 (свойство симметричного элемента).
Пусть «∗» – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М. Если операция «∗» ассоциативна на М и для элемента aМ существует симметричный элемент а1, то он единственен.
Доказательство. Пусть a1и а2 – симметричные элементы для элемента aМ, относительно операции «∗». Покажем, что a1=а2.
Так как a1 симметричный элемент для элемента a относительно операции «∗», то а∗a1=a1∗a=e. Аналогично, а∗а2=а2∗a=e. Тогда а1=а1∗е=а1∗(а∗а2)=(а1∗а)∗а2=e∗a2=a2.
В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций... На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и... Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Свойства бинарных операций.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Диаграммы Эйлера-Венна.
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо
Свойства операций над множествами.
Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А.
Теорема 1. Пусть
Бинарные отношения между множествами.
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар.
В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам
Фактормножество.
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А.
Опр
Упорядоченное множество.
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А.
Определение 31. Би
Функция как бинарное отношение.
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)
Метод математической индукции.
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв
Полугруппа с сокращением.
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>.
За
Простейшие свойства групп.
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):
Подгруппа. Критерий подгруппы.
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об
Простейшие свойства колец.
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K
Простейшие свойства полей.
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия:
1) Р
Изоморфизм полей.
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т
Поля комплексных чисел.
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас
Комплексного числа.
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму
Комплексного числа.
Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).
В тригонометрической форме.
Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Доказательство. Пусть z1
Формула Муавра.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3
Формула Муавра.
Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1
Первообразные корни.
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,
Кольцо многочленов от одной переменной.
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2
Над областью целостности.
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности.
Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что
Теорема Безу. Корни многочлена.
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен
Матрица ступенчатого вида.
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:
Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса).
Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач
И их основные свойства.
1. Сложение матриц.
Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой
Матричные уравнения.
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей.
Замечание 9. Если А –
Теорема о четности перестановки.
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл
Определитель произведения матриц.
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей
Новости и инфо для студентов