рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Свойства бинарных операций.

Свойства бинарных операций. - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами     Определение 1. Бинарной Алгебраической...

 

 

Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М, не обязательно различным, взятым в определенном порядке, ставится в соответствие единственный элемент множества М. Обозначается: φ(a, b)=c, aφb=c.

Замечание 1. На множестве М≠∅ может существовать несколько различных бинарных операций, которые обозначаются символами φ, ∘, ∗, ⋅, + и т.д. Вместо ∗(a, b) пишут ab.

Определение бинарной алгебраической операции можно сформулировать также следующим образом.

Определение 1'. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется отображение .

Определение 2. Непустое множество М с определенными на нем алгебраическими операциями и отношениями называется алгебраической системой.

Пусть 1 – совокупность некоторых алгебраических операций на множестве М≠∅, 2 – совокупность некоторых отношений на множестве М≠∅. Тогда полученную алгебраическую систему обозначают <M, 1, 2 >.

Определение 3. Непустое множество М с определенными на нем алгебраическими операциями называется алгеброй.

Определение 4. Пусть М – некоторое непустое множество. Отображение называется n-арной или n-местной операцией на множестве М, где

Замечание 2. При n=0 операция называется нульарной; при n=1 унарной; при n=3 тернарной.

Пример 1. 1) Унарной операцией является нахождение дополнения ко множеству, то есть .

2) Бинарными на множествах ℕ, ℤ, ℚ, ℝ являются операции «⋅», «+»;

на множествах ℤ, ℚ, ℝ бинарной алгебраической является операция «-»; операция «:» алгебраической на множествах ℤ, ℚ, ℝ не является.

3) Операция нахождения НОД целых чисел а1, а2, …,аn является n-арной на множестве ℤ.

Определение 5. Пусть «∗» – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М. Операция «∗» называется

· коммутативной на множестве М, если a,bМ: ab = ba.

· ассоциативной на множестве М, если a, b, cМ: (ab)∗c = a∗(bc).

Определение 6. Пусть «∗» – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М. Элемент называется правым (левым) нейтральным элементом относительно операции «∗», если () для любого .

Определение 7. Пусть «∗» – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М. Элемент называется правым (левым) симметричным элементом для элемента относительно операции «∗», если (), где - правый (левый) нейтральный элемент множества М относительно операции «∗».

Определение 8. Если элемент является правым и левым нейтральным элементом относительно операции «∗», то он называется нейтральным элементом в М относительно операции «∗», причем для любого .

Определение 9. Если правый симметричный элемент для элемента относительно операции «∗» является и левым симметричным элементом, то называется симметричным для элементом, причем .

Замечание 3. На практике наиболее часто бинарная операция обозначается «⋅» - операция умножения или «+» - операция сложения. В этом случае правый (левый) нейтральный элемент относительно операции «⋅» называется правым (левым) единичным элементом; относительно операции «+» - правым (левым) нулевым элементом. Правый (левый) симметричный элемент для элемента а относительно операции «⋅» называется правым (левым) обратным к а и обозначается а-1; относительно операции «+» - правым (левым) противоположным к а и обозначается –а.

Теорема 1 (свойство нейтрального элемента).

Пусть «∗» – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М. Если в М существует нейтральный элемент относительно операции «∗», то он единственен.

Доказательство. Пусть е1, е2 – нейтральные элементы в М относительно операции «∗». Покажем, что е12.

Так как е1 – нейтральный элемент относительно операции «∗», то, по определению 8, получим ae1=e1a=a,aМ. В частности e2e1=e1e2=e2 (1). Далее, так как е2 – нейтральный элемент относительно операции ∗, то e2a =ae2=a aМ и e2e1=e2e1=e1 (2). Из (1) и (2), в силу единственности элемента e2e1, следует, что е12 .

Теорема доказана.

Теорема 2 (свойство симметричного элемента).

Пусть «∗» – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М. Если операция «∗» ассоциативна на М и для элемента aМ существует симметричный элемент а1, то он единственен.

Доказательство. Пусть a1 и а2 – симметричные элементы для элемента aМ, относительно операции «∗». Покажем, что a1 =а2.

Так как a1 симметричный элемент для элемента a относительно операции «∗», то аa1=a1a=e. Аналогично, аа22a=e. Тогда а11е=а1∗(аа2)=(а1а)∗а2=ea2=a2.

Теорема доказана.

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами

В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций.. На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и.. Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Свойства бинарных операций.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Диаграммы Эйлера-Венна.
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо

Свойства операций над множествами.
  Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А. Теорема 1. Пусть

Прямое (декартово) произведение множеств.
Определение 11. Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество, обозначаемое AB (читается

Бинарные отношения между множествами.
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар. В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам

Фактормножество.
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А. Опр

Упорядоченное множество.
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А. Определение 31. Би

Функция как бинарное отношение.
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)

Теорема об ассоциативности произведения функций.
Определение 50. Пусть f: XY, g: YZ - функции. Произведением

Обратимое отображение.
Определение 52. Отображение называется тождественным (или единичным), если

Критерий обратимости функции.
Теорема 5. Пусть - функция. Функция f обратима f - биек

Метод математической индукции.
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв

Полугруппа с сокращением.
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>. За

Простейшие свойства групп.
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

Подгруппа. Критерий подгруппы.
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об

Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
Теорема 8. Пусть {Hi | i∈I} – некоторая совокупность подгрупп группы G. Тогда A=я

Простейшие свойства колец.
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак

Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K

Простейшие свойства полей.
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия: 1) Р

Изоморфизм полей.
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т

Поля комплексных чисел.
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас

Комплексного числа.
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму

Комплексного числа.
  Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).

В тригонометрической форме.
  Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Доказательство. Пусть z1

Формула Муавра.
  Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3

Формула Муавра.
  Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1

Первообразные корни.
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,

Кольцо многочленов от одной переменной.
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2

Свойства степени многочлена.
Определение 19. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, (

Над областью целостности.
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности. Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что

Теорема Безу. Корни многочлена.
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен

Многочлена над областью целостности.
  Теорема 15. Пусть K – область целостности, f(x)=а0+а1х+а2х2+…+аnxn

Равенство многочленов.
Определение 23. Пусть ,

Теорема о делении с остатком для многочленов.
Теорема 17. Пусть F – поле, f(x), g(x)F[x], g(x)

Разложение многочлена
по степеням (х-с). Пусть F - поле, f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+a

Формальная производная многочлена.
Определение 27. Пусть F - поле, f(x)F, f(x

Основная теорема алгебры.
Определение 27. Множество М называется числовым, если Мℂ. Определение 28. Поле

Решение системы линейных уравнений.
Определение 1. Система линейных уравнений вида (1) , где

Матрица ступенчатого вида.
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:

Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса). Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач

И их основные свойства.
1. Сложение матриц. Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой

Матричные уравнения.
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей. Замечание 9. Если А –

Теорема о четности перестановки.
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл

Определители второго и третьего порядков.
Пусть А=- матрица n-го порядка над полем Р. Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произ

Связь алгебраических дополнений с минорами.
Пусть Δ = = . Определение 31. Если в определителе Δ сгр

Определитель произведения матриц.
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей

Формула для вычисления обратной матрицы.
Теорема 10. Пусть A=- матрица n-го порядка над полем P. Если определитель

Формулы Крамера.
Теорема 11. Пусть (1) - система n линейных уравнений с n неизвестными над полем P, А=

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги