Свойства бинарных операций.

 

 

Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М, не обязательно различным, взятым в определенном порядке, ставится в соответствие единственный элемент множества М. Обозначается: φ(a, b)=c, aφb=c.

Замечание 1. На множестве М≠∅ может существовать несколько различных бинарных операций, которые обозначаются символами φ, ∘, ∗, ⋅, + и т.д. Вместо ∗(a, b) пишут a∗b.

Определение бинарной алгебраической операции можно сформулировать также следующим образом.

Определение 1'. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется отображение .

Определение 2. Непустое множество М с определенными на нем алгебраическими операциями и отношениями называется алгебраической системой.

Пусть ₁ – совокупность некоторых алгебраических операций на множестве М≠∅, ₂ – совокупность некоторых отношений на множестве М≠∅. Тогда полученную алгебраическую систему обозначают <M, ₁, ₂ >.

Определение 3. Непустое множество М с определенными на нем алгебраическими операциями называется алгеброй.

Определение 4. Пусть М – некоторое непустое множество. Отображение называется n-арной или n-местной операцией на множестве М, где

Замечание 2. При n=0 операция называется нульарной; при n=1 – унарной; при n=3 – тернарной.

Пример 1. 1) Унарной операцией является нахождение дополнения ко множеству, то есть .

2) Бинарными на множествах ℕ, ℤ, ℚ, ℝ являются операции «⋅», «+»;

на множествах ℤ, ℚ, ℝ бинарной алгебраической является операция «-»; операция «:» алгебраической на множествах ℤ, ℚ, ℝ не является.

3) Операция нахождения НОД целых чисел а₁, а₂, …,а_n является n-арной на множестве ℤ.

Определение 5. Пусть «∗» – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М. Операция «∗» называется

· коммутативной на множестве М, если a,bМ: a∗b = b∗a.

· ассоциативной на множестве М, если a, b, cМ: (a∗b)∗c = a∗(b∗c).

Определение 6. Пусть «∗» – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М. Элемент называется правым (левым) нейтральным элементом относительно операции «∗», если ∗(∗) для любого .

Определение 7. Пусть «∗» – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М. Элемент называется правым (левым) симметричным элементом для элемента относительно операции «∗», если ∗(∗), где - правый (левый) нейтральный элемент множества М относительно операции «∗».

Определение 8. Если элемент является правым и левым нейтральным элементом относительно операции «∗», то он называется нейтральным элементом в М относительно операции «∗», причем для любого ∗∗.

Определение 9. Если правый симметричный элемент для элемента относительно операции «∗» является и левым симметричным элементом, то называется симметричным для элементом, причем ∗∗.

Замечание 3. На практике наиболее часто бинарная операция обозначается «⋅» - операция умножения или «+» - операция сложения. В этом случае правый (левый) нейтральный элемент относительно операции «⋅» называется правым (левым) единичным элементом; относительно операции «+» - правым (левым) нулевым элементом. Правый (левый) симметричный элемент для элемента а относительно операции «⋅» называется правым (левым) обратным к а и обозначается а^-1; относительно операции «+» - правым (левым) противоположным к а и обозначается –а.

Теорема 1 (свойство нейтрального элемента).

Пусть «∗» – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М. Если в М существует нейтральный элемент относительно операции «∗», то он единственен.

Доказательство. Пусть е₁, е₂ – нейтральные элементы в М относительно операции «∗». Покажем, что е₁=е₂.

Так как е₁ – нейтральный элемент относительно операции «∗», то, по определению 8, получим a∗e₁=e₁∗a=a,aМ. В частности e₂∗e₁=e₁∗e₂=e₂ (1). Далее, так как е₂ – нейтральный элемент относительно операции ∗, то e₂∗a =a∗e₂=a aМ и e₂∗e₁=e₂∗e₁=e₁ (2). Из (1) и (2), в силу единственности элемента e₂∗e₁, следует, что е₁=е₂ .

Теорема доказана.

Теорема 2 (свойство симметричного элемента).

Пусть «∗» – бинарная алгебраическая операция на непустом множестве М. Если операция «∗» ассоциативна на М и для элемента aМ существует симметричный элемент а₁, то он единственен.

Доказательство. Пусть a₁ и а₂ – симметричные элементы для элемента aМ, относительно операции «∗». Покажем, что a₁ =а₂.

Так как a₁ симметричный элемент для элемента a относительно операции «∗», то а∗a₁=a₁∗a=e. Аналогично, а∗а₂=а₂∗a=e. Тогда а₁=а₁∗е=а₁∗(а∗а₂)=(а₁∗а)∗а₂=e∗a₂=a₂.

Теорема доказана.