Полугруппа с сокращением.

Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>.

Замечание 4. Если на множестве М задана бинарная алгебраическая операция «∗», то для любых существует единственный элемент ∗. В этом случае говорят, что множество М замкнуто относительно операции «∗».

Определение 11. Группоид <M, ∗> называется полугруппой, если операция «∗» ассоциативна на М.

Определение 12. Полугруппа <M, ∗> называется моноидом, если в М существует нейтральный элемент относительно операции «∗».

Определение 13. Полугруппа <M, ∗> называется полугруппой с сокращением, если для любых из a∗c=b∗c всегда следует, что a=b.

Пример 2. 1) <ℕ, +>, <ℕ, ⋅> являются соответственно полугруппой и моноидом с сокращением.

2) <ℤ, ⋅> является коммутативным моноидом, но не является моноидом с сокращением, так как, например, 5⋅0=-7⋅0, но 5≠-7.

Теорема 3. Пусть <M, ∗> - полугруппа. Тогда для любых элементов композиция а₁∗а₂∗…∗а_n не зависит от расстановки скобок и, следовательно, их можно опустить.