Простейшие свойства групп. - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами. Определение 14. Непустое Множество G, Замкнутое Относительно Би...
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):
1) операция «∗» ассоциативна на G ,т. е. а∗(b∗c) = (a∗b)∗c для любых a, b, c∈G.
2) в G существует нейтральный элемент относительно операции «∗», т. е. ∃e∈G : a∗e=e∗a=a, для любого a∈G.
3) в G для любого элемента существует симметричный ему элемент, т. е. для любого a∈G ∃a'∈G : a∗a'=a'∗a=e.
Теорема 4. В группе G для любых a, b, c∈G уравнения a∗x=b (1) и x∗a=b имеют единственное решение x=a'∗b и x=b∗a' соответственно, где a' - симметричный элемент для а относительно операции «∗».
Доказательство. Покажем, что a'∗b является решением уравнения (1). Действительно, a∗(a'∗b)=(a∗a')∗b=e∗b=b.
Пусть c1, c2 – решения уравнения (1), где c1, c2∈G. Тогда a∗c1=b и a∗c2=b. Отсюда a∗c1=a∗c2. Умножая обе части этого равенства на a' слева, получим c1=c2, то есть уравнение (1) имеет единственное решение.
Аналогично, уравнение (2) имеет единственное решение.
Теорема доказана.
Теорема 5. В группе G выполняется закон сокращения, то есть из a∗c=b∗c всегда следует, что a=b и из c∗a=c∗b следует, что a=b для любых a, b, c∈G .
Доказательство. Пусть c∗a=c∗b . Умножим обе части равенства на c' слева. Получим c'∗(c∗a)=c'∗(c∗b). Так как операция «∗» ассоциативна на G, то (c'∗c)∗a=(c'∗c)∗b и e∗a=e∗b. Значит, a=b.
Теорема доказана.
Определение 16. Группа относительно операции умножения называется мультипликативной; группа относительно операции сложения называется аддитивной.
Пример 3. 1) ℤ, ℚ, ℝ - аддитивные группы;
2) ℤ#, ℚ#, ℝ# - мультипликативные группы;
3) ℕ не является ни аддитивной, ни мультипликативной группой.
Определение 17. Группа G относительно операции «∗» называется абелевой, если операция «∗» коммутативна на G, то есть a∗b=b∗a для любых a, b∈G.
Определение 18. Группа G называется конечной, если она содержит конечное число элементов. В противном случае группа называется бесконечной.
Определение 19.Порядком конечной группы G называется число элементов группы G, и обозначается |G|.
Замечание 5. В дальнейшем, для удобства записи, будем рассматривать мультипликативные группы.
Теорема 6. Единичный элемент в группе G определяется однозначно, то есть он единственен; для каждого элемента группы симметричный элемент единственен.
В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций... На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и... Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Простейшие свойства групп.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Диаграммы Эйлера-Венна.
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо
Свойства операций над множествами.
Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А.
Теорема 1. Пусть
Бинарные отношения между множествами.
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар.
В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам
Фактормножество.
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А.
Опр
Упорядоченное множество.
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А.
Определение 31. Би
Функция как бинарное отношение.
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)
Метод математической индукции.
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв
Свойства бинарных операций.
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М
Полугруппа с сокращением.
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>.
За
Подгруппа. Критерий подгруппы.
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об
Простейшие свойства колец.
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K
Простейшие свойства полей.
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия:
1) Р
Изоморфизм полей.
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т
Поля комплексных чисел.
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас
Комплексного числа.
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму
Комплексного числа.
Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).
В тригонометрической форме.
Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Доказательство. Пусть z1
Формула Муавра.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3
Формула Муавра.
Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1
Первообразные корни.
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,
Кольцо многочленов от одной переменной.
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2
Над областью целостности.
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности.
Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что
Теорема Безу. Корни многочлена.
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен
Матрица ступенчатого вида.
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:
Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса).
Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач
И их основные свойства.
1. Сложение матриц.
Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой
Матричные уравнения.
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей.
Замечание 9. Если А –
Теорема о четности перестановки.
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл
Определитель произведения матриц.
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей
Новости и инфо для студентов