Подгруппа. Критерий подгруппы.

Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и обозначается Н≤G.

Определение 21. Если Н≤G и H≠G, то Н называется подгруппой группы G, собственно содержащейся в G. Обозначается H<G.

Замечание 6. Любая группа G имеет следующие подгруппы: G≤G, E={e}≤G , где Е – единичная подгруппа группы G.

Определение 22. Подгруппы Е и G группы G называются тривиальными подгруппами группы G. Все остальные подгруппы группы G нетривиальными или собственными.

Теорема 7 (критерий подгруппы).

Пусть Н – непустое подмножество группы G. Н является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1) для любых h₁, h₂∈H h₁⋅h₂∈H;

2) для любого h∈H ∃ h^-1∈H.

Доказательство. Необходимость. Пусть Н является подгруппой группы G. Тогда, по определению 20, Н является мультипликативной группой. Значит, Н замкнуто относительно операции «⋅», то есть выполняется условие 1), и для любого h∈H h^-1∈H, то есть выполняется условие 2).

Достаточность. Пусть Н – непустое подмножество группы G, причем выполняются условия 1) и 2). Покажем, что Н является подгруппой группы G. Достаточно показать, что Н удовлетворяет определению группы.

Из условия 1) следует, что Н замкнуто относительно операции «⋅». Так как H⊆G и операция умножения ассоциативна на G, то операция умножения ассоциативна на Н. Далее, пусть h∈H. Тогда из условия 2) следует, что ∃ h^-1∈H и, в силу условия 1), h⋅h^-1=h^-1⋅h=e∈H. Кроме того, из условия 2) имеем, ∃ e∈H: для любого h∈H h⋅h^-1=h^-1⋅h=e. Таким образом, по определению 14, Н – группа, а, значит, Н – подгруппа группы G.

Теорема доказана.

Теорема 7'. Пусть Н – непустое подмножество группы G. Н является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда выполняется условие: для любых h₁, h₂∈H (h₁⋅h₂)^-1∈H.

Замечание 6. Критерий подгруппы в аддитивной записи имеет вид:

Пусть Н – непустое подмножество группы G. Н является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1) для любых h₁, h₂∈H h₁+h₂∈H;

2) для любого h∈H ∃ -h∈H.

Замечание 7. Наряду с записью a+(-b) будем использовать запись a-b.