Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.

Теорема 8. Пусть {H_i | i∈I} – некоторая совокупность подгрупп группы G. Тогда A=является подгруппой группы G.

Доказательство. Пусть a₁, a₂∈A. Тогда, по определению пересечения множеств, получим a₁, a₂∈H_i, i∈I. Так как H_i≤G, i∈I, то a₁⋅a₂∈H_i, i∈I. Значит, a₁⋅a₂∈=A. Аналогично, для любого a∈A a^-1∈A. Следовательно, по критерию подгруппы, A≤G.

Теорема доказана.

Определение 23. Пусть <G, ∗>, <G₁, ∘> - группы. Отображение GG₁ называется гомоморфным отображением (или гомоморфизмом), если φ(a∗b)=φ(a)∘φ(b) для любых a, b∈G.

Определение 24. Пусть <G, ∗>, <G₁, ∘> - группы. Взаимно однозначное отображение G на G₁ (то есть биективное) называется изоморфизмом, если φ(a∗b)=φ(a)∘φ(b) для любых a, b∈G.

Замечание 8. Другими словами, изоморфизм – это биективный гомоморфизм.

Определение 25. Группы G и G₁ называются изоморфными, если существует изоморфизм группы G на группу G₁. Обозначается G≅G₁ .

Определение 26. Инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом. Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом. Гомоморфизм группы G в G называется эндоморфизмом. Изоморфизм группы G на G называется автоморфизмом.

 

мономорфизм

 

₁ изоморфизм

 

- гомоморфизм ² эпиморфизм

 

³автоморфизм

 

эндоморфизм

где 1 - -инъекция; 2 - -сюръекция; 3 - : GG.

 

Замечание 9. Отношение изоморфизма на множестве всех групп является отношением эквивалентности, которое разбивает данное множество на непересекающиеся классы изоморфных групп. Поскольку при изоморфизме свойства групп сохраняются, то в алгебре изоморфные группы считаются одинаковыми относительно свойств операций, заданных в них.