Простейшие свойства колец. - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами. Определение 27. Непустое Множество K С Определенными На Нем Бин...
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы кольца):
1) K – аддитивная абелева группа, то есть
а) а+(b+c)=(a+b)+c для любых a, b, c∈K;
b) ∃0∈K : a+0=0+a=a, для любого a∈K;
c) для любого a∈K ∃ -a∈K : a+(-a)=(-a)+a=0;
d) для любых a, b∈K a+b=b+a;
2) в K выполняются дистрибутивные законы: для любых a, b, c∈K (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c (правая дистрибутивность) и с⋅(a+b)=c⋅a+c⋅b (левая дистрибутивность).
Пример 4. <ℕ, +, ⋅> не является кольцом; <ℤ, +, ⋅> - кольцо.
Определение 28. Кольцо K называется ассоциативным, если операция умножения ассоциативна на K, то есть а⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c для любых a, b, c∈K.
Определение 29. Кольцо K называется коммутативным, если операция умножения коммутативна на K, то есть для любых a, b∈K a⋅b=b⋅a.
Определение 30. Кольцо K называется ассоциативно-коммутатитвным, если K - ассоциативное кольцо и коммутативное кольцо.
Определение 31. Кольцо K называется кольцом с единицей, если в K существует единичный элемент, то есть ∃ 1∈K: для любого a∈K a⋅1=1⋅a=a.
Определение 32. Если в кольце K существуют элементы а и b, не равные нулю одновременно, но а⋅b=0, то K называется кольцом с делителями нуля, а элементы а и b называются делителями нуля.
Пример 5. Все числовые кольца (K⊂ℂ) являются ассоциативно-коммутативными кольцами без делителей нуля.
Определение 33. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности.
Простейшие свойства колец.
Свойство 1. Для кольца K выполняются все простейшие свойства аддитивной группы.
Свойство 2. В кольце K справедливы обобщенные дистрибутивные законы: (a1+a2+…+an)b=a1b+a2b+…+anb, b(a1+a2+…+an)=ba1+ba2+…+ban, для любых a1, a2,…,an, b∈K.
Доказательство (методом математической индукции).
Проверим, что утверждение верно при n=2: так как в K выполняются дистрибутивные законы, то (a1+a2)b=a1b+a2b для любых a1, a2, b∈K.
Предположим, что утверждение верно при n=k: (a1+a2+…+ak)b=a1b+a2b+…+akb.
Докажем, что равенство верно при n=k+1: (a1+a2+…+ak+ak+1)b= (a1+a2+…+ak)b+ak+1b= a1b+a2b+…+akb+ ak+1b.
Следовательно, утверждение верно при любом n∈ℕ.
Свойство доказано.
Следствие 2.1. Пусть K – кольцо. Тогда для любых a1, a2,…, an, b1, b2,…, bm∈K справедливо равенство (a1+a2+…+an)⋅(b1+b2+…+bm)=a1b1+a2b1+…+anb1+a1b2+a2b2+…+anb2+…+ a1bm+a2bm+…+anbm.
Свойство 3. Пусть K – кольцо. Тогда для любых a, b, c∈K справедливо равенство (a-b)c=ac-bc и c(a-b)=ca-cb.
Доказательство.
Согласно замечанию 7, a-b=a+(-b). Тогда a=b+(a-b). Умножим обе части равенства на с справа, получим: ac=(b+(a-b))c. Так как K – кольцо, то ac=bc+(a-b)c. Прибавим к обеим частям последнего равенства (-bc): ac+(-bc)=(a-b)c и, следовательно, ac-bc=(a-b)c.
Свойство доказано.
Следствие 3.1. Пусть K – кольцо. Тогда для любого a∈K и θ∈K справедливо равенство аθ=θа=θ, где θ – нулевой элемент кольца K.
Доказательство.аθ=a(b-b)=ab-ab=θ.
Следствие доказано.
Свойство 4 (правило знаков).
Пусть K – кольцо. Тогда для любых a, b∈K справедливо
1) (-a)⋅b=-(a⋅b)=-a⋅b,
2) a⋅(-b)=-(a⋅b)=-a⋅b,
3) (-a)⋅(-b)=a⋅b.
Доказательство. Докажем, например, равенство 1).
(-a)⋅b+a⋅b=(-a+a)⋅b=θ⋅b=θ. Прибавим к обеим частям равенства (-a⋅b): (-a)⋅b+a⋅b+(-a⋅b)=θ+(-a⋅b)и (-a)⋅b=-a⋅b.
Равенства 2) и 3) доказываются аналогично.
Свойство доказано.
Свойство 5. Пусть K – кольцо. Тогда для любого a∈K справедливо равенство -(-а)=а.
Доказательство.Докажем, что , т.е. что а – это противоположный элемент для элемента –а. Действительно, a+(-a)=(-а)+а=θ.
В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций... На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и... Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Простейшие свойства колец.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Диаграммы Эйлера-Венна.
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо
Свойства операций над множествами.
Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А.
Теорема 1. Пусть
Бинарные отношения между множествами.
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар.
В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам
Фактормножество.
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А.
Опр
Упорядоченное множество.
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А.
Определение 31. Би
Функция как бинарное отношение.
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)
Метод математической индукции.
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв
Свойства бинарных операций.
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М
Полугруппа с сокращением.
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>.
За
Простейшие свойства групп.
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):
Подгруппа. Критерий подгруппы.
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K
Простейшие свойства полей.
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия:
1) Р
Изоморфизм полей.
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т
Поля комплексных чисел.
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас
Комплексного числа.
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму
Комплексного числа.
Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).
В тригонометрической форме.
Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Доказательство. Пусть z1
Формула Муавра.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3
Формула Муавра.
Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1
Первообразные корни.
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,
Кольцо многочленов от одной переменной.
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2
Над областью целостности.
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности.
Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что
Теорема Безу. Корни многочлена.
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен
Матрица ступенчатого вида.
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:
Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса).
Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач
И их основные свойства.
1. Сложение матриц.
Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой
Матричные уравнения.
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей.
Замечание 9. Если А –
Теорема о четности перестановки.
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл
Определитель произведения матриц.
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей
, т.е. что а – это противоположный элемент для элемента –а. Действительно, a+(-a)=(-а)+а=θ.
Новости и инфо для студентов