рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Простейшие свойства колец

Простейшие свойства колец - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами Определение 27. Непустое Множество K С Определенными На Нем Бин...

Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы кольца):

1) K – аддитивная абелева группа, то есть

а) а+(b+c)=(a+b)+c для любых a, b, cK;

b) ∃0K : a+0=0+a=a, для любого aK;

c) для любого aK ∃ -aK : a+(-a)=(-a)+a=0;

d) для любых a, bK a+b=b+a;

2) в K выполняются дистрибутивные законы: для любых a, b, cK (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c (правая дистрибутивность) и с⋅(a+b)=c⋅a+c⋅b (левая дистрибутивность).

Пример 4. <ℕ, +, ⋅> не является кольцом; <ℤ, +, ⋅> - кольцо.

Определение 28. Кольцо K называется ассоциативным, если операция умножения ассоциативна на K, то есть а⋅(bc)=(ab)⋅c для любых a, b, cK.

Определение 29. Кольцо K называется коммутативным, если операция умножения коммутативна на K, то есть для любых a, bK ab=ba.

Определение 30. Кольцо K называется ассоциативно-коммутатитвным, если K - ассоциативное кольцо и коммутативное кольцо.

Определение 31. Кольцо K называется кольцом с единицей, если в K существует единичный элемент, то есть ∃ 1K: для любого aK a⋅1=1⋅a=a.

Определение 32. Если в кольце K существуют элементы а и b, не равные нулю одновременно, но а⋅b=0, то K называется кольцом с делителями нуля, а элементы а и b называются делителями нуля.

Пример 5. Все числовые кольца (K⊂ℂ) являются ассоциативно-коммутативными кольцами без делителей нуля.

Определение 33. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности.

 

Простейшие свойства колец.

Свойство 1. Для кольца K выполняются все простейшие свойства аддитивной группы.

Свойство 2. В кольце K справедливы обобщенные дистрибутивные законы: (a1+a2+…+an)b=a1b+a2b+…+anb, b(a1+a2+…+an)=ba1+ba2+…+ban, для любых a1, a2,…,an, bK.

Доказательство (методом математической индукции).

Проверим, что утверждение верно при n=2: так как в K выполняются дистрибутивные законы, то (a1+a2)b=a1b+a2b для любых a1, a2, bK.

Предположим, что утверждение верно при n=k: (a1+a2+…+ak)b=a1b+a2b+…+akb.

Докажем, что равенство верно при n=k+1: (a1+a2+…+ak+ak+1)b= (a1+a2+…+ak)b+ak+1b= a1b+a2b+…+akb+ ak+1b.

Следовательно, утверждение верно при любом n∈ℕ.

Свойство доказано.

Следствие 2.1. Пусть K – кольцо. Тогда для любых a1, a2,…, an, b1, b2,…, bmK справедливо равенство (a1+a2+…+an)⋅(b1+b2+…+bm)=a1b1+a2b1+…+anb1+a1b2+a2b2+…+anb2+…+ a1bm+a2bm+…+anbm.

Свойство 3. Пусть K – кольцо. Тогда для любых a, b, cK справедливо равенство (a-b)c=ac-bc и c(a-b)=ca-cb.

Доказательство.

Согласно замечанию 7, a-b=a+(-b). Тогда a=b+(a-b). Умножим обе части равенства на с справа, получим: ac=(b+(a-b))c. Так как K – кольцо, то ac=bc+(a-b)c. Прибавим к обеим частям последнего равенства (-bc): ac+(-bc)=(a-b)c и, следовательно, ac-bc=(a-b)c.

Свойство доказано.

Следствие 3.1. Пусть K – кольцо. Тогда для любого aK и θK справедливо равенство аθ=θа=θ, где θ – нулевой элемент кольца K.

Доказательство. аθ=a(b-b)=ab-ab=θ.

Следствие доказано.

Свойство 4 (правило знаков).

Пусть K – кольцо. Тогда для любых a, bK справедливо

1) (-a)⋅b=-(a⋅b)=-a⋅b,

2) a⋅(-b)=-(a⋅b)=-a⋅b,

3) (-a)⋅(-b)=a⋅b.

Доказательство. Докажем, например, равенство 1).

(-a)⋅b+a⋅b=(-a+a)⋅b=θ⋅b=θ. Прибавим к обеим частям равенства (-a⋅b): (-a)⋅b+a⋅b+(-a⋅b)=θ+(-a⋅b) и (-a)⋅b=-a⋅b.

Равенства 2) и 3) доказываются аналогично.

Свойство доказано.

Свойство 5. Пусть K – кольцо. Тогда для любого aK справедливо равенство -()=а.

Доказательство.Докажем, что , т.е. что а – это противоположный элемент для элемента –а. Действительно, a+(-a)=(-а)+а=θ.

Свойство доказано.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами

В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций.. На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и.. Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Простейшие свойства колец

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Диаграммы Эйлера-Венна
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо

Свойства операций над множествами
  Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А. Теорема 1. Пусть

Прямое (декартово) произведение множеств
Определение 11. Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество, обозначаемое AB (читается

Бинарные отношения между множествами
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар. В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам

Фактормножество
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А. Опр

Упорядоченное множество
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А. Определение 31. Би

Функция как бинарное отношение
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)

Теорема об ассоциативности произведения функций
Определение 50. Пусть f: XY, g: YZ - функции. Произведением

Обратимое отображение
Определение 52. Отображение называется тождественным (или единичным), если

Критерий обратимости функции
Теорема 5. Пусть - функция. Функция f обратима f - биек

Метод математической индукции
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв

Свойства бинарных операций
    Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М

Полугруппа с сокращением
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>. За

Простейшие свойства групп
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

Подгруппа. Критерий подгруппы
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об

Гомоморфизмы и изоморфизмы групп
Теорема 8. Пусть {Hi | i∈I} – некоторая совокупность подгрупп группы G. Тогда A=я

Гомоморфизмы и изоморфизмы колец
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K

Простейшие свойства полей
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия: 1) Р

Изоморфизм полей
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т

Поля комплексных чисел
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас

Комплексного числа
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму

Комплексного числа
  Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).

В тригонометрической форме
  Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Доказательство. Пусть z1

Формула Муавра
  Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3

Формула Муавра
  Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1

Первообразные корни
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,

Кольцо многочленов от одной переменной
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2

Свойства степени многочлена
Определение 19. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, (

Над областью целостности
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности. Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что

Теорема Безу. Корни многочлена
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен

Многочлена над областью целостности
  Теорема 15. Пусть K – область целостности, f(x)=а0+а1х+а2х2+…+аnxn

Равенство многочленов
Определение 23. Пусть ,

Теорема о делении с остатком для многочленов
Теорема 17. Пусть F – поле, f(x), g(x)F[x], g(x)

Разложение многочлена
по степеням (х-с). Пусть F - поле, f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+a

Формальная производная многочлена
Определение 27. Пусть F - поле, f(x)F, f(x

Основная теорема алгебры
Определение 27. Множество М называется числовым, если Мℂ. Определение 28. Поле

Решение системы линейных уравнений
Определение 1. Система линейных уравнений вида (1) , где

Матрица ступенчатого вида
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:

Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса). Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач

И их основные свойства
1. Сложение матриц. Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой

Матричные уравнения
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей. Замечание 9. Если А –

Теорема о четности перестановки
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл

Определители второго и третьего порядков
Пусть А=- матрица n-го порядка над полем Р. Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произ

Связь алгебраических дополнений с минорами
Пусть Δ = = . Определение 31. Если в определителе Δ сгр

Определитель произведения матриц
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей

Формула для вычисления обратной матрицы
Теорема 10. Пусть A=- матрица n-го порядка над полем P. Если определитель

Формулы Крамера
Теорема 11. Пусть (1) - система n линейных уравнений с n неизвестными над полем P, А=

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги