Простейшие свойства колец.
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы кольца):
1) K – аддитивная абелева группа, то есть
а) а+(b+c)=(a+b)+c для любых a, b, c∈K;
b) ∃0∈K : a+0=0+a=a, для любого a∈K;
c) для любого a∈K ∃ -a∈K : a+(-a)=(-a)+a=0;
d) для любых a, b∈K a+b=b+a;
2) в K выполняются дистрибутивные законы: для любых a, b, c∈K (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c (правая дистрибутивность) и с⋅(a+b)=c⋅a+c⋅b (левая дистрибутивность).
Пример 4. <ℕ, +, ⋅> не является кольцом; <ℤ, +, ⋅> - кольцо.
Определение 28. Кольцо K называется ассоциативным, если операция умножения ассоциативна на K, то есть а⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c для любых a, b, c∈K.
Определение 29. Кольцо K называется коммутативным, если операция умножения коммутативна на K, то есть для любых a, b∈K a⋅b=b⋅a.
Определение 30. Кольцо K называется ассоциативно-коммутатитвным, если K - ассоциативное кольцо и коммутативное кольцо.
Определение 31. Кольцо K называется кольцом с единицей, если в K существует единичный элемент, то есть ∃ 1∈K: для любого a∈K a⋅1=1⋅a=a.
Определение 32. Если в кольце K существуют элементы а и b, не равные нулю одновременно, но а⋅b=0, то K называется кольцом с делителями нуля, а элементы а и b называются делителями нуля.
Пример 5. Все числовые кольца (K⊂ℂ) являются ассоциативно-коммутативными кольцами без делителей нуля.
Определение 33. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности.
Простейшие свойства колец.
Свойство 1. Для кольца K выполняются все простейшие свойства аддитивной группы.
Свойство 2. В кольце K справедливы обобщенные дистрибутивные законы: (a1+a2+…+an)b=a1b+a2b+…+anb, b(a1+a2+…+an)=ba1+ba2+…+ban, для любых a1, a2,…,an, b∈K.
Доказательство (методом математической индукции).
Проверим, что утверждение верно при n=2: так как в K выполняются дистрибутивные законы, то (a1+a2)b=a1b+a2b для любых a1, a2, b∈K.
Предположим, что утверждение верно при n=k: (a1+a2+…+ak)b=a1b+a2b+…+akb.
Докажем, что равенство верно при n=k+1: (a1+a2+…+ak+ak+1)b= (a1+a2+…+ak)b+ak+1b= a1b+a2b+…+akb+ ak+1b.
Следовательно, утверждение верно при любом n∈ℕ.
Свойство доказано.
Следствие 2.1. Пусть K – кольцо. Тогда для любых a1, a2,…, an, b1, b2,…, bm∈K справедливо равенство (a1+a2+…+an)⋅(b1+b2+…+bm)=a1b1+a2b1+…+anb1+a1b2+a2b2+…+anb2+…+ a1bm+a2bm+…+anbm.
Свойство 3. Пусть K – кольцо. Тогда для любых a, b, c∈K справедливо равенство (a-b)c=ac-bc и c(a-b)=ca-cb.
Доказательство.
Согласно замечанию 7, a-b=a+(-b). Тогда a=b+(a-b). Умножим обе части равенства на с справа, получим: ac=(b+(a-b))c. Так как K – кольцо, то ac=bc+(a-b)c. Прибавим к обеим частям последнего равенства (-bc): ac+(-bc)=(a-b)c и, следовательно, ac-bc=(a-b)c.
Свойство доказано.
Следствие 3.1. Пусть K – кольцо. Тогда для любого a∈K и θ∈K справедливо равенство аθ=θа=θ, где θ – нулевой элемент кольца K.
Доказательство. аθ=a(b-b)=ab-ab=θ.
Следствие доказано.
Свойство 4 (правило знаков).
Пусть K – кольцо. Тогда для любых a, b∈K справедливо
1) (-a)⋅b=-(a⋅b)=-a⋅b,
2) a⋅(-b)=-(a⋅b)=-a⋅b,
3) (-a)⋅(-b)=a⋅b.
Доказательство. Докажем, например, равенство 1).
(-a)⋅b+a⋅b=(-a+a)⋅b=θ⋅b=θ. Прибавим к обеим частям равенства (-a⋅b): (-a)⋅b+a⋅b+(-a⋅b)=θ+(-a⋅b) и (-a)⋅b=-a⋅b.
Равенства 2) и 3) доказываются аналогично.
Свойство доказано.
Свойство 5. Пусть K – кольцо. Тогда для любого a∈K справедливо равенство -(-а)=а.
Доказательство.Докажем, что 
, т.е. что а – это противоположный элемент для элемента –а. Действительно, a+(-a)=(-а)+а=θ.
Свойство доказано.