Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.

Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K.

Теорема 9 (критерий подкольца).

Пусть K – кольцо, H - непустое подмножество K. H является подкольцом кольца K тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1) для любых h₁, h₂∈H (h₁-h₂)∈H;

2) для любых h₁, h₂∈H h₁⋅h₂∈H.

Доказательство. Необходимость. Пусть H - подкольцо кольца K. Тогда Н – кольцо относительно тех же операций, что и K. Значит, Н замкнуто относительно операций сложения и умножения, то есть условие 2) выполняется. Кроме того, для любых h₁, h₂∈H ∃ -h₂∈H и h₁+(-h₂)=h₁-h₂∈H.

Достаточность. Пусть выполняются условия 1) и 2). Докажем, что Н - подкольцо кольца K. В силу определения 34, достаточно проверить, что Н -кольцо.

Так как выполняется условие 1), то, по теореме 7', Н является подгруппой аддитивной группы K. Кроме того, так как операция сложения коммутативна на K, то в Н операция «+» также коммутативна. Следовательно, Н – аддитивная абелева группа.

Далее, в K выполняются дистрибутивные законы и Н⊆K. Значит, в Н также выполняются дистрибутивные законы. Тем самым мы показали, что Н – кольцо, а, следовательно, Н – подкольцо кольца K.

Теорема доказана.

Определение 35. Отображение φ кольца K в кольцо Kназывается гомоморфным отображением или гомоморфизмом, если выполняются 2 условия:

1) для любых a, b∈K φ(a+b)=φ(a)+φ(b);

2) для любых a, b∈K φ(a⋅b)=φ(a)⋅φ(b).

Замечание 10. Определения мономорфизма, эпиморфизма, изоморфизма, эндоморфизма, автоморфизма колец формулируется аналогично соответствующим определениям для групп.

Замечание 11. Отношение изоморфизма на множестве всех колец является отношением эквивалентности, которое разбивает данное множество на непересекающиеся классы – классы эквивалентности. В один класс войдут те и только те кольца, которые изоморфны между собой. Изоморфные кольца обладают одними и теми же свойствами. Поэтому с алгебраической точки зрения они неразличимы.

 

 

8. Поле.