Свойства операций над множествами.

 

Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А.

Теорема 1. Пусть А и В – множества. А=В ⇔ А⊆В и В⊆А.

Доказательство равенства множеств на основании теоремы 1 носит название метода встречных включений.

Рассмотренные в параграфе 1 операции над множествами обладают рядом свойств.

Теорема 2. Для произвольных множеств А, В и С справедливы следующие равенства:

– свойство коммутативности;

– свойство ассоциативности;

– свойство дистрибутивности;

– свойство идемпотентности;

– законы де Моргана;

– свойство поглощения;

– свойства пустого и универсального множеств;

– свойство инволюции;

– свойство исключения разности.

Доказательство: Все свойства доказываются методом встречных включений. Докажем, например, свойство 5.

Обозначим левую часть равенства через , а правую – через . Тогда для доказательства равенства достаточно проверить справедливость двух включений и . Доказательство каждого из включений основывается на определениях операций объединения, пересечения, разности множеств, дополнения множества.

1) Проверим, что . Пусть – произвольный элемент множества . Покажем, что . Так как , то, по определению дополнения множества получим, что . Тогда, по определению объединения множеств, и . Значит, и . Согласно определению пересечения множеств, имеем .

Таким образом, элемент принадлежит множеству . Поскольку – произвольный элемент множества , то, по определению подмножества множества, получаем .

2) Проверим, что . Пусть – произвольный элемент множества . Покажем, что . Так как , то, по определению пересечения множеств, и . Тогда и . Согласно определению объединения множеств, . Это означает, что .

Следовательно, .

Из 1) и 2) следует, что .

Теорема доказана.

Замечание 4. Пусть M – множество. Обозначим через P(M) совокупность всех подмножеств множества M. Тогда справедливо

Утверждение. Если |M|=n, то |P(M)|=2ⁿ.