Изоморфизм полей.
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно тех же операций, что и поле Р.
Теорема 10 (критерий подполя).
Пусть Р – поле, Н ≠ Æ, ∣Н∣≥2, Н Í Р. Н является подполем поля Р тогда и только тогда, когда выполняются условия:
1) для любых h1, h2 ∈H: h1 – h2 ∈H;
2) для любых h1, h2∈H: h1h2∈H;
3) для любого h∈H# ∃ h-1∈H#.
Доказательство. Необходимость. Пусть Н – подполе поля Р. Тогда, по определению 37, Н – поле. Следовательно, Н – аддитивная абелева группа. Значит, Н замкнуто относительно операции сложения и для любого h∈H ∃ -h∈H , то есть выполняется условие 1). Кроме того, H# - мультипликативная абелева группа. Значит, выполняются условия 2) и 3).
Достаточность. Пусть выполняются условия 1), 2) и 3). Покажем, что Н – подполе поля Р. Достаточно показать, что Н – поле. Из условия 1) следует, что Н – подгруппа аддитивной абелевой группы Р. Следовательно Н – аддитивная абелева группа. Из условий 2) и 3) имеем, Н# – подгруппа мультипликативной абелевой группы P#. Поэтому Н# – мультипликативная абелева группа. Кроме того, так как НÍР и в Р выполняются дистрибутивные законы, то в Н также выполняются дистрибутивные законы. Таким образом, Н – поле, а, следовательно, Н – подполе поля Р.
Теорема доказана.
Определение 38. Взаимнооднозначное отображение φ поля Р на поле Р
называется изоморфным отображением или изоморфизмом, если выполняются 2 условия:
1) для любых a, b∈Р φ(a+b)=φ(a)+φ(b);
2) для любых a, b∈Р φ(a⋅b)=φ(a)⋅φ(b).