рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Поля комплексных чисел.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Поля комплексных чисел.

Поля комплексных чисел. - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами. В Поле ℝ Уравнение Вида ...

В поле ℝ уравнение вида x²+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы расширением поля ℝ и содержало решение уравнения x²+1=0.

Определение 1. Полем комплексных чисел называется поле, являющееся расширением поля ℝ, в котором уравнение x²+1=0 имеет, по крайней мере, один корень.

Замечание 1. Чтобы доказать существование такого поля, необходимо построить его модель. В качестве такой модели рассмотрим множество ℂ=ℝ×ℝ={(a, b) ∣ a, b∈ℝ}.

Определение 2. Элементы множества ℂ называются комплексными числами.

Определение 3. Два комплексных числа (a, b) и (c, d) называются равными, если a=c и b=d.

Определение 4. Суммой комплексных чисел (a, b) и (c, d) называется комплексное число вида (a+c, b+d), то есть (a, b)+(c, d)=(a+c, b+d).

Определение 5. Произведением комплексных чисел (a, b) и (c, d) называется комплексное число вида (ac-bd, ad+bc), то есть (a, b)⋅(c, d)=(ac-bd, ad+bc).

Теорема 1. Относительно заданных в определениях 4 и 5 операций множество ℂ является полем.

Доказательство. Покажем, что ℂ является аддитивной абелевой группой.

Замкнутость множества ℂ относительно операции «+» следует из определений этой операции.

Так как сложение комплексных чисел сводится к сложению действительных чисел, а на множестве действительных чисел операция «+» ассоциативна и коммутативна, то операция «+» ассоциативна и коммутативна на ℂ.

Существует элемент θ=(0, 0)∈ℂ такой, что для любого элемента (а, b)∈ℂ θ+(а, b)=(а, b)+θ=(а, b).

Для любого элемента (а, b)∈ℂ существует элемент (-а, -b)∈ℂ такой, что (а, b)+(-а, -b)=(-а, -b)+(а, b)=θ.

Тем самым мы показали, что ℂ - аддитивная абелева группа.

Покажем, что ℂ^# - мультипликативная абелева группа.

Пусть (a, b), (c, d)∈ℂ^#, то есть a²+b²≠0 и c²+d²≠0. Покажем, что (a, b)⋅(c, d)∈ℂ^#. Допустим, что (a, b)⋅(c, d)=(0, 0). Тогда (ac-bd, ad+bc)=(0, 0) и Умножим первое уравнение системы на а, а второе – на b. Имеем Сложив уравнения системы, получим b²c+a²c=0 или c(a²+b²)=0. Так как a²+b²≠0, то c=0. Аналогично, умножив первое уравнение системы (1) на (-b), а второе – на а, получим, что d=0. Таким образом, c²+d²=0. Противоречие. Следовательно, допущение неверно, и (a, b)⋅(c, d)∈ℂ^#. Таким образом, множество ℂ^# замкнуто относительно операции «⋅».

Для любых (a, b), (c, d)∈ℂ^#(a, b)⋅(c, d)=(ac-bd, ad+bc)= (ca-db, da+cb)=(c, d)⋅(a,b). Следовательно, операция «⋅» коммутативна на ℂ.

Аналогично, нетрудно показать, что операция «⋅» ассоциативна на ℂ.

Существует элемент (1, 0)∈ℂ^#такой, что для любого элемента (a, b)∈ℂ^#(1, 0)⋅(a, b)=(1⋅a-0⋅b, 1⋅b+0⋅a)=(a, b) и, аналогично, (a, b)⋅(1, 0)=(a, b).

Пусть (a, b)∈ℂ^#, (x, y)∈ℂ^#, причем (a, b)⋅(x, y)=(1, 0). Тогда (a⋅x-b⋅y, a⋅y+b⋅x)=(1, 0) и Умножим первое уравнение системы на а, а второе – на b. Получим, Сложим уравнения системы: a²x+b²x=a и . Из исходной системы найдем . Таким образом, для любого элемента (a, b)∈ℂ^#∃ (,)∈ℂ^#, такой, что (a, b)⋅ (,)=(,)⋅(a, b)=(1, 0).

Следовательно, ℂ^# - мультипликативная абелева группа.

Нетрудно показать, что в ℂ выполняются дистрибутивные законы.

Таким образом, ℂ - поле.

Теорема доказана.

Теорема 2. Поле ℂ является расширением поля ℝ.

Доказательство. Пусть R₁={(a, 0) ∣ a∈ℝ}⊂ℂ. Покажем, что R₁ является подполем поля ℂ.

1) Для любых (a, 0), (b, 0)∈R₁ (a, 0)-(b, 0)=(a-b, 0)∈R₁;

2) Для любых (a, 0), (b, 0)∈R₁ (a, 0)⋅(b, 0)=(ab, 0)∈R₁;

3) Для любого (a, 0)∈R₁ ∃ (a, 0)^-1=(, 0)∈R₁.

Из 1)-3) следует, что R₁является подполем поля ℂ.

Зададим отображение φ: ℝ→R₁ по правилу для любого а∈ℝ φ(а)=(а, 0). Покажем, что φ является изоморфизмом ℝ на R₁.

Пусть a, b∈ℝ, a=b. Тогда φ(a)=(a, 0)=(b, 0)=φ(b). Следовательно, φ – функциональное отношение.

Для любого a∈ℝ ∃ (а, 0)∈R₁ такое, что φ(a)=(а, 0). Значит, Dom φ=ℝ и φ – функция.

Пусть φ(a)=φ(b), a, b∈ℝ. Тогда (a, 0)=(b, 0) и a=b. Поэтому φ – инъективное отображение.

Для любого (а, 0)∈R₁ ∃ а∈ℝ такое, что φ(а)=(а, 0), то есть Im φ=R₁. Следовательно, φ – сюръективное отображение.

Таким образом, φ – взаимнооднозначное отображение ℝ на R₁.

Покажем, что φ – гомоморфизм. Для любых a, b∈ℝ имеем:

φ(a+b)=(a+b, 0)=(a, 0)+(b, 0)=φ(a)+φ(b);

φ(a⋅b)=(a⋅b, 0)=(a, 0)⋅(b, 0)=φ(a)⋅φ(b).

Значит, φ – гомоморфное отображение.

Тем самым мы показали, что ℝ≅R₁⊂ℂ, и ℝ изоморфно вкладывается в поле ℂ.

Отождествляя пару (a, 0) с элементом а, можем считать, что ℝ является подполем поля ℂ.

Теорема доказана.

Теорема 3. В поле ℂ уравнение x²+1=0 имеет решение.

Доказательство. В поле ℂ единичный элемент имеет вид (1, 0), а нулевой – (0, 0). Тогда уравнение x²+1=0 примет вид: x²+(1, 0)=(0, 0) (1).

Рассмотрим элемент i=(0, 1)∈ℂ. Покажем, что i является решением уравнения (1). Действительно, (0, 1)²+(1, 0)=(-1, 0)+(1, 0)=(0, 0). Значит, i=(0, 1) – корень уравнения x²+1=0.

Теорема доказана.

Замечание 2. Из теорем 1-3 следует, что поле комплексных чисел существует.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами.

В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций... На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и... Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Поля комплексных чисел.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Диаграммы Эйлера-Венна.
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо

Свойства операций над множествами.
Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А. Теорема 1. Пусть

Прямое (декартово) произведение множеств.
Определение 11. Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество, обозначаемое AB (читается

Бинарные отношения между множествами.
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар. В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам

Фактормножество.
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А. Опр

Упорядоченное множество.
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А. Определение 31. Би

Функция как бинарное отношение.
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)

Теорема об ассоциативности произведения функций.
Определение 50. Пусть f: XY, g: YZ - функции. Произведением

Обратимое отображение.
Определение 52. Отображение называется тождественным (или единичным), если

Критерий обратимости функции.
Теорема 5. Пусть - функция. Функция f обратима f - биек

Метод математической индукции.
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв

Свойства бинарных операций.
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М

Полугруппа с сокращением.
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>. За

Простейшие свойства групп.
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

Подгруппа. Критерий подгруппы.
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об

Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
Теорема 8. Пусть {Hi | i∈I} – некоторая совокупность подгрупп группы G. Тогда A=я

Простейшие свойства колец.
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак

Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K

Простейшие свойства полей.
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия: 1) Р

Изоморфизм полей.
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т

Комплексного числа.
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму

Комплексного числа.
Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).

В тригонометрической форме.
Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Доказательство. Пусть z1

Формула Муавра.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3

Формула Муавра.
Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1

Первообразные корни.
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,

Кольцо многочленов от одной переменной.
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2

Свойства степени многочлена.
Определение 19. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, (

Над областью целостности.
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности. Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что

Теорема Безу. Корни многочлена.
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен

Многочлена над областью целостности.
Теорема 15. Пусть K – область целостности, f(x)=а0+а1х+а2х2+…+аnxn

Равенство многочленов.
Определение 23. Пусть ,

Теорема о делении с остатком для многочленов.
Теорема 17. Пусть F – поле, f(x), g(x)F[x], g(x)

Разложение многочлена
по степеням (х-с). Пусть F - поле, f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+a

Формальная производная многочлена.
Определение 27. Пусть F - поле, f(x)F, f(x

Основная теорема алгебры.
Определение 27. Множество М называется числовым, если Мℂ. Определение 28. Поле

Решение системы линейных уравнений.
Определение 1. Система линейных уравнений вида (1) , где

Матрица ступенчатого вида.
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:

Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса). Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач

И их основные свойства.
1. Сложение матриц. Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой

Матричные уравнения.
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей. Замечание 9. Если А –

Теорема о четности перестановки.
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл

Определители второго и третьего порядков.
Пусть А=- матрица n-го порядка над полем Р. Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произ

Связь алгебраических дополнений с минорами.
Пусть Δ = = . Определение 31. Если в определителе Δ сгр

Определитель произведения матриц.
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей

Формула для вычисления обратной матрицы.
Теорема 10. Пусть A=- матрица n-го порядка над полем P. Если определитель

Формулы Крамера.
Теорема 11. Пусть (1) - система n линейных уравнений с n неизвестными над полем P, А=