Поля комплексных чисел.

В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы расширением поля ℝ и содержало решение уравнения x2+1=0.

Определение 1. Полем комплексных чисел называется поле, являющееся расширением поля ℝ, в котором уравнение x2+1=0 имеет, по крайней мере, один корень.

Замечание 1. Чтобы доказать существование такого поля, необходимо построить его модель. В качестве такой модели рассмотрим множество ℂ=ℝ×ℝ={(a, b) ∣ a, b∈ℝ}.

Определение 2. Элементы множества ℂ называются комплексными числами.

Определение 3. Два комплексных числа (a, b) и (c, d) называются равными, если a=c и b=d.

Определение 4. Суммой комплексных чисел (a, b) и (c, d) называется комплексное число вида (a+c, b+d), то есть (a, b)+(c, d)=(a+c, b+d).

Определение 5. Произведением комплексных чисел (a, b) и (c, d) называется комплексное число вида (ac-bd, ad+bc), то есть (a, b)⋅(c, d)=(ac-bd, ad+bc).

Теорема 1. Относительно заданных в определениях 4 и 5 операций множество ℂ является полем.

Доказательство. Покажем, что ℂ является аддитивной абелевой группой.

Замкнутость множества ℂ относительно операции «+» следует из определений этой операции.

Так как сложение комплексных чисел сводится к сложению действительных чисел, а на множестве действительных чисел операция «+» ассоциативна и коммутативна, то операция «+» ассоциативна и коммутативна на ℂ.

Существует элемент θ=(0, 0)∈ℂ такой, что для любого элемента (а, b)∈ℂ θ+(а, b)=(а, b)+θ=(а, b).

Для любого элемента (а, b)∈ℂ существует элемент (-а, -b)∈ℂ такой, что (а, b)+(-а, -b)=(-а, -b)+(а, b)=θ.

Тем самым мы показали, что ℂ - аддитивная абелева группа.

Покажем, что ℂ# - мультипликативная абелева группа.

Пусть (a, b), (c, d)∈ℂ#, то есть a2+b2≠0 и c2+d2≠0. Покажем, что (a, b)⋅(c, d)∈ℂ#. Допустим, что (a, b)⋅(c, d)=(0, 0). Тогда (ac-bd, ad+bc)=(0, 0) и Умножим первое уравнение системы на а, а второе – на b. Имеем Сложив уравнения системы, получим b2c+a2c=0 или c(a2+b2)=0. Так как a2+b2≠0, то c=0. Аналогично, умножив первое уравнение системы (1) на (-b), а второе – на а, получим, что d=0. Таким образом, c2+d2=0. Противоречие. Следовательно, допущение неверно, и (a, b)⋅(c, d)∈ℂ#. Таким образом, множество ℂ# замкнуто относительно операции «⋅».

Для любых (a, b), (c, d)∈ℂ# (a, b)⋅(c, d)=(ac-bd, ad+bc)= (ca-db, da+cb)=(c, d)⋅(a,b). Следовательно, операция «⋅» коммутативна на ℂ.

Аналогично, нетрудно показать, что операция «⋅» ассоциативна на ℂ.

Существует элемент (1, 0)∈ℂ# такой, что для любого элемента (a, b)∈ℂ# (1, 0)⋅(a, b)=(1⋅a-0⋅b, 1⋅b+0⋅a)=(a, b) и, аналогично, (a, b)⋅(1, 0)=(a, b).

Пусть (a, b)∈ℂ#, (x, y)∈ℂ#, причем (a, b)⋅(x, y)=(1, 0). Тогда (a⋅x-b⋅y, a⋅y+b⋅x)=(1, 0) и Умножим первое уравнение системы на а, а второе – на b. Получим, Сложим уравнения системы: a2x+b2x=a и . Из исходной системы найдем . Таким образом, для любого элемента (a, b)∈ℂ# ∃ (,)∈ℂ#, такой, что (a, b)⋅ (,)=(,)⋅(a, b)=(1, 0).

Следовательно, ℂ# - мультипликативная абелева группа.

Нетрудно показать, что в ℂ выполняются дистрибутивные законы.

Таким образом, ℂ - поле.

Теорема доказана.

Теорема 2. Поле ℂ является расширением поля ℝ.

Доказательство. Пусть R1={(a, 0) ∣ a∈ℝ}⊂ℂ. Покажем, что R1 является подполем поля ℂ.

1) Для любых (a, 0), (b, 0)∈R1 (a, 0)-(b, 0)=(a-b, 0)∈R1;

2) Для любых (a, 0), (b, 0)∈R1 (a, 0)⋅(b, 0)=(ab, 0)∈R1;

3) Для любого (a, 0)∈R1 ∃ (a, 0)-1=(, 0)∈R1.

Из 1)-3) следует, что R1 является подполем поля ℂ.

Зададим отображение φ: ℝ→R1 по правилу для любого а∈ℝ φ(а)=(а, 0). Покажем, что φ является изоморфизмом ℝ на R1.

Пусть a, b∈ℝ, a=b. Тогда φ(a)=(a, 0)=(b, 0)=φ(b). Следовательно, φ – функциональное отношение.

Для любого a∈ℝ ∃ (а, 0)∈R1 такое, что φ(a)=(а, 0). Значит, Dom φ=ℝ и φ – функция.

Пусть φ(a)=φ(b), a, b∈ℝ. Тогда (a, 0)=(b, 0) и a=b. Поэтому φ – инъективное отображение.

Для любого (а, 0)∈R1 ∃ а∈ℝ такое, что φ(а)=(а, 0), то есть Im φ=R1. Следовательно, φ – сюръективное отображение.

Таким образом, φ – взаимнооднозначное отображение ℝ на R1.

Покажем, что φ – гомоморфизм. Для любых a, b∈ℝ имеем:

φ(a+b)=(a+b, 0)=(a, 0)+(b, 0)=φ(a)+φ(b);

φ(a⋅b)=(a⋅b, 0)=(a, 0)⋅(b, 0)=φ(a)⋅φ(b).

Значит, φ – гомоморфное отображение.

Тем самым мы показали, что ℝ≅R1⊂ℂ, и ℝ изоморфно вкладывается в поле ℂ.

Отождествляя пару (a, 0) с элементом а, можем считать, что ℝ является подполем поля ℂ.

Теорема доказана.

Теорема 3. В поле ℂ уравнение x2+1=0 имеет решение.

Доказательство. В поле ℂ единичный элемент имеет вид (1, 0), а нулевой – (0, 0). Тогда уравнение x2+1=0 примет вид: x2+(1, 0)=(0, 0) (1).

Рассмотрим элемент i=(0, 1)∈ℂ. Покажем, что i является решением уравнения (1). Действительно, (0, 1)2+(1, 0)=(-1, 0)+(1, 0)=(0, 0). Значит, i=(0, 1) – корень уравнения x2+1=0.

Теорема доказана.

Замечание 2. Из теорем 1-3 следует, что поле комплексных чисел существует.