Комплексного числа.

 

Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).

b М (а, b)

φ

0 а

 

 

Каждому комплексному числу z соответствует на плоскости в декартовой системе координат единственная точка М(a, b). Верно и обратное: каждой точке Q(x, y) на плоскости в декартовой системе координат соответствует комплексное число x+yi, x, y∈ℝ. Таким образом, между множеством ℂ и множеством всех точек плоскости существует взаимнооднозначное соответствие.

Определение 9. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Замечание 4. Все действительные числа а∈ℝ будут изображены на оси Ox, которая называется действительной осью; мнимые числа bi, b∈ℝ будут изображены точками оси Oy, которая называется мнимой осью координатной плоскости.

Любая точка на плоскости может определяться не только своими декартовыми координатами, но и координатами, которые называются полярными: М(r, ), где r=, φ – угол между осью Ox и вектором . Тогда Таким образом, z=a+bi=r⋅cos φ+r⋅sin φ ⋅i, z=r(cos φ+isin φ) – тригонометрическая форма записи комплексного числа z; φ – аргумент комплексного числа, причем φ определяется неоднозначно, а с точностью до 2πk, k∈ℤ.

Замечание 5. φ=Arg z, φ – бесконечное множество углов, отличающихся друг от друга на кратное 2π. Поэтому, рассматривается главное значение аргумента комплексного числа z, которое обозначается arg z, причем 0≤arg z<2π или -π≤arg z<π.

Определение 10. Два комплексных числа z₁=r₁(cos φ₁+isin φ₁) и z₂=r₂(cos φ₂+isin φ₂) в тригонометрической форме называются равными, если r₁=r₂, а φ₁ и φ₂ отличаются друг от друга на 2πk, k∈ℤ.

Замечание 6. Для комплексного числа 0 модуль равен нулю, а аргумент не определяется. Поэтому тригонометрической формой записи числа 0 является следующая запись: 0=0(cos φ+isin φ), где φ - произвольный угол.