В тригонометрической форме.

 

Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Доказательство. Пусть z₁=r₁(cos φ₁+isin φ₁) и z₂=r₂(cos φ₂+isin φ₂). Тогда z₁⋅z₂=(r₁(cos φ₁+isin φ₁))⋅(r₂(cos φ₂+isin φ₂))=r₁⋅r₂(cos φ₁+isin φ₁)⋅(cos φ₂+ +isin φ₂)= r₁⋅r₂(cos φ₁ cos φ₂-sin φ₁ sin φ₂+i(cos φ₁ sin φ₂+ cos φ₂ sin φ₁)= =r₁⋅r₂(cos (φ₁+ φ₂)+isin(φ₁+φ₂)).

Теорема доказана.

Теорема 5. При делении комплексного числа z₁ на комплексное число z₂≠0 в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Доказательство. Пусть z₁=r₁(cos φ₁+isin φ₁) и z₂=r₂(cos φ₂+isin φ₂)≠0. Тогда

Теорема доказана.