Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3 в алгебраической форме затруднительно или вообще невозможно. Для этого удобно пользоваться тригонометрической формой комплексного числа.
Теорема 6. Пусть z=r(cos φ+isin φ), n∈ℕ. Тогда zn=rn(cos nφ+isin nφ) – формула Муавра.
Доказательство (методом математической индукции).
Проверим, что утверждение верно при n=1: z1=r1(cos 1⋅φ+isin 1⋅φ)= =r(cos φ+isin φ).
Предположим, что утверждение верно при n=k, то есть zk=rk(cos kφ+isin kφ).
Докажем, что утверждение верно при n=k+1: zk+1=zk⋅ z=rk(cos kφ+isin kφ)⋅ r(cos φ+isin φ)=rk+1(cos kφ cos φ - sin kφ sin φ+i(sin kφ cos φ+ cos kφ sin φ)= =rk+1(cos (kφ+φ)+isin(kφ+φ))=rk+1(cos (k+1)φ+isin(k+1)φ).
Следовательно, по методу математической индукции, утверждение верно при любом n∈ℕ.
Теорема доказана.
6. Извлечение корня n-ой степени