Формула Муавра.

 

Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z₁ такое, что z₁ⁿ=z. Обозначается .

Теорема 7. Пусть z=r(cos φ+isin φ), n∈ℕ. Тогда , где – формула Муавра.

Доказательство. Пусть , где z₁=r₁(cos φ₁+isin φ₁). Тогда z₁ⁿ=z и z₁ⁿ=r₁ⁿ(cos nφ₁+isin nφ₁). Значит,

Следовательно, .

Замечаем, что при получим n различных комплексных чисел, которые будут располагаться на окружности с центром в начале координат с R=и делить эту окружность на n равных частей, причем эти точки будут иметь следующие полярные координаты:

М₀(, φ₀)=М_n,

M₁(, ),

M₂(, ),

…………………….,

M_n-1(, ).

Теорема доказана.

 

 

7. Корни n-ой степени из единицы.