рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Кольцо многочленов от одной переменной

Кольцо многочленов от одной переменной - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами Из Школьного Курса Математики И Из Курса Математического Анализа Известно, Чт...

Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn (1), где ai∈ℝ, .Придавая x действительные значения, будем получать действительные значения функции.

В школьном курсе подробно рассматривались следующие случаи:

n=1: f(x)=a0+a1xлинейная функция;

n=2: f(x)=a0+a1x+a2x2 – квадратичная функция.

В алгебре многочлены рассматриваются над произвольными полями, кольцами, и, вообще, над некоторыми алгебраическими системами, то есть коэффициентами многочлена (1) являются, соответственно, элементы поля, кольца, алгебраической системы.

Определение 13. Пусть K – кольцо. Многочленом от переменной x с коэффициентами из K (над кольцом K) называется формальное выражение вида a0+a1x+a2x2+…+anxn (1).

Замечание 7. Выражение (1) рассматривается как единый символ и никаких операций над его частями не предусматривается; a0, a1, a2,…, an Kкоэффициенты многочлена, n∈ℕ; akкоэффициент многочлена при xk; a0свободный член многочлена. Многочлены обозначаются f(x), g(x), φ(x)…

Множество многочленов от одной переменной x над кольцом K обозначается K[x].

Определение 14. Нулевым многочленом называется многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, и обозначается 0.

Определение 15. Два многочлена f(x) и g(x) считаются равными, f(x)=g(x), тогда и только тогда, когда они либо нулевые, либо имеют одинаковую степень, причем коэффициенты f(x) и g(x) при одних и тех же степенях неизвестного совпадают.

Определение 16. Пусть f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn, g(x)=b0+b1x+b2x2+…+bmxm – два произвольных многочлена над кольцом K. Суммой многочленов f(x) и g(x) называется многочлен f(x)+g(x)= с01x+с2x2+…+сkxk, где ci=ai+bi, , k=max(n, m). Если n>m, то k=n; если n<m, то k=m.

Определение 17. Пусть f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn, g(x)=b0+b1x+b2x2+…+bmxm – два произвольных многочлена над кольцом K. Произведением многочленов f(x) и g(x) называется многочлен f(x)⋅g(x)= с01x+с2x2+…+сn+mxn+m, где ci=, .

Теорема 11. Множество K[x] является кольцом относительно операций сложения и умножения, заданных в определениях 16 и 17.

Доказательство.

Проверим, что K[x] является аддитивной абелевой группой.

Пусть f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn, g(x)=b0+b1x+b2x2+…+bmxm – два произвольных многочлена над кольцом K. Тогда многочлен q(x)= f(x)+g(x) является многочленом над кольцом K в силу задания операции сложения на множестве K[x]. Следовательно, множество K[x] замкнуто относительно операции сложения.

Так как сложение многочленов сводится к сложению его коэффициентов, а сложение в кольце K коммутативно и ассоциативно, то операция сложения коммутативна и ассоциативна на множестве K[x].

Существует нулевой многочлен θ(x)=0+0x+0x2+…+0xnK[x] такой, что для любого f(x)∈K[x] θ(x)+f(x)= f(x)+θ(x)=f(x).

Для любого f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxnK[x] существует -f(x)=-a0+(-a1) x+(-a2) x2+…+(-an) xnK[x] такой, что f(x)+(-f(x))=-f(x)+f(x)=θ(x).

Таким образом, K[x] является аддитивной абелевой группой.

Пусть f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn, g(x)=b0+b1x+b2x2+…+bmxm, φ(x)= c0+c1x+c2x2+…+cpxpK[x]. Тогда коэффициентом при xi в многочлене (f(x)+g(x))⋅φ(x) служит элемент , а в многочлене f(x)⋅φ(x)+g(x)⋅φ(x) – равный ему, в силу выполнения в K дистрибутивных законов, элемент . Следовательно, в K[x] выполняются дистрибутивные законы.

Тем самым мы показали, что K[x] является кольцом относительно заданных операций сложения и умножения.

Теорема доказана.

Определение 18. Если все коэффициенты многочлена f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxnK[x], кроме одного, равны нулю, то он называется одночленом и имеет вид akxk, ak0.

Замечание 8. Так как a0K, a0 – многочлен, то KK[x]. Так как многочлены складываются так же, как и элементы кольца K, то K является подкольцом кольца K[x]. Если в многочлен f(x) входит одночлен (-ak) xk, то этот одночлен есть многочлен, противоположный многочлену akxk, Поэтому, вместо +(-ak) xk будем записывать -akxk.

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами

В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций.. На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и.. Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Кольцо многочленов от одной переменной

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Диаграммы Эйлера-Венна
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо

Свойства операций над множествами
  Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А. Теорема 1. Пусть

Прямое (декартово) произведение множеств
Определение 11. Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество, обозначаемое AB (читается

Бинарные отношения между множествами
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар. В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам

Фактормножество
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А. Опр

Упорядоченное множество
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А. Определение 31. Би

Функция как бинарное отношение
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)

Теорема об ассоциативности произведения функций
Определение 50. Пусть f: XY, g: YZ - функции. Произведением

Обратимое отображение
Определение 52. Отображение называется тождественным (или единичным), если

Критерий обратимости функции
Теорема 5. Пусть - функция. Функция f обратима f - биек

Метод математической индукции
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв

Свойства бинарных операций
    Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М

Полугруппа с сокращением
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>. За

Простейшие свойства групп
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

Подгруппа. Критерий подгруппы
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об

Гомоморфизмы и изоморфизмы групп
Теорема 8. Пусть {Hi | i∈I} – некоторая совокупность подгрупп группы G. Тогда A=я

Простейшие свойства колец
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак

Гомоморфизмы и изоморфизмы колец
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K

Простейшие свойства полей
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия: 1) Р

Изоморфизм полей
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т

Поля комплексных чисел
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас

Комплексного числа
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму

Комплексного числа
  Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).

В тригонометрической форме
  Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Доказательство. Пусть z1

Формула Муавра
  Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3

Формула Муавра
  Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1

Первообразные корни
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,

Свойства степени многочлена
Определение 19. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, (

Над областью целостности
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности. Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что

Теорема Безу. Корни многочлена
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен

Многочлена над областью целостности
  Теорема 15. Пусть K – область целостности, f(x)=а0+а1х+а2х2+…+аnxn

Равенство многочленов
Определение 23. Пусть ,

Теорема о делении с остатком для многочленов
Теорема 17. Пусть F – поле, f(x), g(x)F[x], g(x)

Разложение многочлена
по степеням (х-с). Пусть F - поле, f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+a

Формальная производная многочлена
Определение 27. Пусть F - поле, f(x)F, f(x

Основная теорема алгебры
Определение 27. Множество М называется числовым, если Мℂ. Определение 28. Поле

Решение системы линейных уравнений
Определение 1. Система линейных уравнений вида (1) , где

Матрица ступенчатого вида
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:

Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса). Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач

И их основные свойства
1. Сложение матриц. Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой

Матричные уравнения
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей. Замечание 9. Если А –

Теорема о четности перестановки
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл

Определители второго и третьего порядков
Пусть А=- матрица n-го порядка над полем Р. Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произ

Связь алгебраических дополнений с минорами
Пусть Δ = = . Определение 31. Если в определителе Δ сгр

Определитель произведения матриц
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей

Формула для вычисления обратной матрицы
Теорема 10. Пусть A=- матрица n-го порядка над полем P. Если определитель

Формулы Крамера
Теорема 11. Пусть (1) - система n линейных уравнений с n неизвестными над полем P, А=

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги