Кольцо многочленов от одной переменной. - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами. Из Школьного Курса Математики И Из Курса Математического Анализа Известно, Чт...
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn(1), где ai∈ℝ, .Придавая x действительные значения, будем получать действительные значения функции.
В школьном курсе подробно рассматривались следующие случаи:
n=1: f(x)=a0+a1x–линейная функция;
n=2: f(x)=a0+a1x+a2x2– квадратичная функция.
В алгебре многочлены рассматриваются над произвольными полями, кольцами, и, вообще, над некоторыми алгебраическими системами, то есть коэффициентами многочлена (1) являются, соответственно, элементы поля, кольца, алгебраической системы.
Определение 13. Пусть K – кольцо. Многочленом от переменной x с коэффициентами из K (над кольцом K) называется формальное выражение вида a0+a1x+a2x2+…+anxn(1).
Замечание 7. Выражение (1) рассматривается как единый символ и никаких операций над его частями не предусматривается; a0, a1, a2,…, an∈K – коэффициенты многочлена, n∈ℕ; ak – коэффициент многочлена при xk; a0 – свободный член многочлена. Многочлены обозначаются f(x), g(x), φ(x)…
Множество многочленов от одной переменной x над кольцом K обозначается K[x].
Определение 14.Нулевым многочленом называется многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, и обозначается 0.
Определение 15. Два многочлена f(x) и g(x) считаются равными, f(x)=g(x), тогда и только тогда, когда они либо нулевые, либо имеют одинаковую степень, причем коэффициенты f(x) и g(x) при одних и тех же степенях неизвестного совпадают.
Определение 16. Пусть f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn, g(x)=b0+b1x+b2x2+…+bmxm– два произвольных многочлена над кольцом K. Суммой многочленов f(x) и g(x) называется многочлен f(x)+g(x)= с0+с1x+с2x2+…+сkxk, где ci=ai+bi, , k=max(n, m). Если n>m, то k=n; если n<m, то k=m.
Определение 17. Пусть f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn, g(x)=b0+b1x+b2x2+…+bmxm– два произвольных многочлена над кольцом K. Произведением многочленов f(x) и g(x) называется многочлен f(x)⋅g(x)= с0+с1x+с2x2+…+сn+mxn+m, где ci=, .
Теорема 11. Множество K[x] является кольцом относительно операций сложения и умножения, заданных в определениях 16 и 17.
Доказательство.
Проверим, что K[x] является аддитивной абелевой группой.
Пусть f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn, g(x)=b0+b1x+b2x2+…+bmxm– два произвольных многочлена над кольцом K. Тогда многочлен q(x)= f(x)+g(x) является многочленом над кольцом K в силу задания операции сложения на множестве K[x]. Следовательно, множество K[x] замкнуто относительно операции сложения.
Так как сложение многочленов сводится к сложению его коэффициентов, а сложение в кольце K коммутативно и ассоциативно, то операция сложения коммутативна и ассоциативна на множестве K[x].
Существует нулевой многочлен θ(x)=0+0x+0x2+…+0xn∈K[x] такой, что для любого f(x)∈K[x] θ(x)+f(x)= f(x)+θ(x)=f(x).
Для любого f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn∈K[x] существует -f(x)=-a0+(-a1) x+(-a2) x2+…+(-an) xn∈K[x] такой, что f(x)+(-f(x))=-f(x)+f(x)=θ(x).
Таким образом, K[x] является аддитивной абелевой группой.
Пусть f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn, g(x)=b0+b1x+b2x2+…+bmxm, φ(x)= c0+c1x+c2x2+…+cpxp∈K[x]. Тогда коэффициентом при xi в многочлене (f(x)+g(x))⋅φ(x) служит элемент , а в многочлене f(x)⋅φ(x)+g(x)⋅φ(x) – равный ему, в силу выполнения в K дистрибутивных законов, элемент . Следовательно, в K[x] выполняются дистрибутивные законы.
Тем самым мы показали, что K[x] является кольцом относительно заданных операций сложения и умножения.
Теорема доказана.
Определение 18. Если все коэффициенты многочлена f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn∈K[x], кроме одного, равны нулю, то он называется одночленом и имеет вид akxk, ak≠0.
Замечание 8. Так как a0∈K, a0– многочлен, то K⊂K[x]. Так как многочлены складываются так же, как и элементы кольца K, то K является подкольцом кольца K[x]. Если в многочлен f(x) входит одночлен (-ak) xk, то этот одночлен есть многочлен, противоположный многочлену akxk, Поэтому, вместо +(-ak) xkбудем записывать -akxk.
В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций... На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и... Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Кольцо многочленов от одной переменной.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Диаграммы Эйлера-Венна.
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо
Свойства операций над множествами.
Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А.
Теорема 1. Пусть
Бинарные отношения между множествами.
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар.
В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам
Фактормножество.
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А.
Опр
Упорядоченное множество.
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А.
Определение 31. Би
Функция как бинарное отношение.
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)
Метод математической индукции.
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв
Свойства бинарных операций.
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М
Полугруппа с сокращением.
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>.
За
Простейшие свойства групп.
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):
Подгруппа. Критерий подгруппы.
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об
Простейшие свойства колец.
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K
Простейшие свойства полей.
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия:
1) Р
Изоморфизм полей.
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т
Поля комплексных чисел.
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас
Комплексного числа.
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму
Комплексного числа.
Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).
В тригонометрической форме.
Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Доказательство. Пусть z1
Формула Муавра.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3
Формула Муавра.
Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1
Первообразные корни.
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,
Над областью целостности.
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности.
Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что
Теорема Безу. Корни многочлена.
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен
Матрица ступенчатого вида.
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:
Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса).
Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач
И их основные свойства.
1. Сложение матриц.
Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой
Матричные уравнения.
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей.
Замечание 9. Если А –
Теорема о четности перестановки.
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл
Определитель произведения матриц.
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей
.Придавая x действительные значения, будем получать действительные значения функции.
, k=max(n, m). Если n>m, то k=n; если n<m, то k=m. 
, 
.
, а в многочлене f(x)⋅φ(x)+g(x)⋅φ(x) – равный ему, в силу выполнения в K дистрибутивных законов, элемент 
. Следовательно, в K[x] выполняются дистрибутивные законы.
Новости и инфо для студентов