Кольцо многочленов от одной переменной.

Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ (1), где a_i∈ℝ, .Придавая x действительные значения, будем получать действительные значения функции.

В школьном курсе подробно рассматривались следующие случаи:

n=1: f(x)=a₀+a₁x–линейная функция;

n=2: f(x)=a₀+a₁x+a₂x² – квадратичная функция.

В алгебре многочлены рассматриваются над произвольными полями, кольцами, и, вообще, над некоторыми алгебраическими системами, то есть коэффициентами многочлена (1) являются, соответственно, элементы поля, кольца, алгебраической системы.

Определение 13. Пусть K – кольцо. Многочленом от переменной x с коэффициентами из K (над кольцом K) называется формальное выражение вида a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ (1).

Замечание 7. Выражение (1) рассматривается как единый символ и никаких операций над его частями не предусматривается; a₀, a₁, a₂,…, a_n ∈K – коэффициенты многочлена, n∈ℕ; a_k – коэффициент многочлена при x_k; a₀ – свободный член многочлена. Многочлены обозначаются f(x), g(x), φ(x)…

Множество многочленов от одной переменной x над кольцом K обозначается K[x].

Определение 14. Нулевым многочленом называется многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, и обозначается 0.

Определение 15. Два многочлена f(x) и g(x) считаются равными, f(x)=g(x), тогда и только тогда, когда они либо нулевые, либо имеют одинаковую степень, причем коэффициенты f(x) и g(x) при одних и тех же степенях неизвестного совпадают.

Определение 16. Пусть f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ, g(x)=b₀+b₁x+b₂x²+…+b_mx^m – два произвольных многочлена над кольцом K. Суммой многочленов f(x) и g(x) называется многочлен f(x)+g(x)= с₀+с₁x+с₂x²+…+с_kx^k, где c_i=a_i+b_i, , k=max(n, m). Если n>m, то k=n; если n<m, то k=m.

Определение 17. Пусть f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ, g(x)=b₀+b₁x+b₂x²+…+b_mx^m – два произвольных многочлена над кольцом K. Произведением многочленов f(x) и g(x) называется многочлен f(x)⋅g(x)= с₀+с₁x+с₂x²+…+с_n+mx^n+m, где c_i=, .

Теорема 11. Множество K[x] является кольцом относительно операций сложения и умножения, заданных в определениях 16 и 17.

Доказательство.

Проверим, что K[x] является аддитивной абелевой группой.

Пусть f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ, g(x)=b₀+b₁x+b₂x²+…+b_mx^m – два произвольных многочлена над кольцом K. Тогда многочлен q(x)= f(x)+g(x) является многочленом над кольцом K в силу задания операции сложения на множестве K[x]. Следовательно, множество K[x] замкнуто относительно операции сложения.

Так как сложение многочленов сводится к сложению его коэффициентов, а сложение в кольце K коммутативно и ассоциативно, то операция сложения коммутативна и ассоциативна на множестве K[x].

Существует нулевой многочлен θ(x)=0+0x+0x²+…+0xⁿ∈K[x] такой, что для любого f(x)∈K[x] θ(x)+f(x)= f(x)+θ(x)=f(x).

Для любого f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ∈K[x] существует -f(x)=-a₀+(-a₁) x+(-a₂) x²+…+(-a_n) xⁿ∈K[x] такой, что f(x)+(-f(x))=-f(x)+f(x)=θ(x).

Таким образом, K[x] является аддитивной абелевой группой.

Пусть f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ, g(x)=b₀+b₁x+b₂x²+…+b_mx^m, φ(x)= c₀+c₁x+c₂x²+…+c_px^p∈K[x]. Тогда коэффициентом при xⁱ в многочлене (f(x)+g(x))⋅φ(x) служит элемент , а в многочлене f(x)⋅φ(x)+g(x)⋅φ(x) – равный ему, в силу выполнения в K дистрибутивных законов, элемент . Следовательно, в K[x] выполняются дистрибутивные законы.

Тем самым мы показали, что K[x] является кольцом относительно заданных операций сложения и умножения.

Теорема доказана.

Определение 18. Если все коэффициенты многочлена f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ∈K[x], кроме одного, равны нулю, то он называется одночленом и имеет вид a_kx^k, a_k≠0.

Замечание 8. Так как a₀∈K, a₀ – многочлен, то K⊂K[x]. Так как многочлены складываются так же, как и элементы кольца K, то K является подкольцом кольца K[x]. Если в многочлен f(x) входит одночлен (-a_k) x^k, то этот одночлен есть многочлен, противоположный многочлену a_kx^k, Поэтому, вместо +(-a_k) x^k будем записывать -a_kx^k.