Определение 19. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, (). Число n называется степенью многочлена f и обозначается deg f , т.е. deg f=n (степень многочлена – это степень переменной при старшем коэффициенте).
Замечание 9. По определению полагают, что степень нулевого многочлена равна , т.е. deg 0 . Таким образом, если , то deg.
Теорема 12. Пусть K – ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, ,. Тогда:
1) deg(+)max{deg, deg};
2) deg(·)deg+ deg .
Доказательство.
Пусть , . Пусть, например, mn. Тогда:
1) f+g=
deg(f +g)max{deg f, deg g}.
2) =
deg() n+m=deg f + deg g (если и - делители 0 , то deg fg < m+n).
Теорема доказана.
Следствие 12.1. Пусть K - область целостности. Тогда deg () = deg f + deg g, f,g.