Над областью целостности.

Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности.

Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что K[х] – область целостности.

Так как axⁿ⋅bx^m=a⋅b⋅x^n+m=b⋅a⋅x^n+m=bx^m⋅axⁿ, то есть умножение одночленов над областью целостности коммутативно, и умножение многочленов сводится к умножению их одночленов, то умножение многочленов коммутативно.

В силу того что (axⁿ⋅bx^m)⋅cx^l=(a⋅b)⋅x^n+m⋅cx^l=(a⋅b)⋅c⋅x^(n+m)+l=a⋅(b⋅c)⋅x^n+(m+l)=axⁿ⋅(bx^m⋅cx^l), то есть умножение одночленов над областью целостности ассоциативно, и умножение многочленов сводится к умножению их одночленов, то умножение многочленов ассоциативно.

Так как K – область целостности, то 1∈K. Тогда e(x)=1∈K[x], e(x) – единица кольца K[x]. Таким образом, K[х] – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей.

Допустим, что f(x), g(x),. Тогда deg (fg)=-∞. С другой стороны, deg(f·g)- противоречие. Следовательно, в K[х] нет делителей нуля.

Следовательно, K[х] - область целостности.

Теорема доказана.