Теорема Безу. Корни многочлена.

Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен , если f(x)=g(x)и обозначается или .

Определение 21. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, f(x)=a₀+a₁x+…+a_nx_nK[x] (т.е. f(x)=), cK. Элемент а₀+а₁с+а₂с²+…+а_ncⁿK называется значением многочлена f(x) в точке с (на элементе с) и обозначается f(c), то есть f(c)=.

Теорема 14 (теорема Безу). Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, f(x)K[x], cK. Тогда существует q(x)K[x]: f(x)=(x-c)q(x)+f(c).

Доказательство. Пусть f(x)=a₀+a₁x+…+a_nxⁿK[x]. Тогда f(c)=a₀+a₁c+…+a_ncⁿ. Вычтем из f(x) f(c). Получим f(x)-f(c)=a₁(x-c)+a₂(x²-c²)+a₃(x³-c³)+…+a_n(xⁿ-cⁿ)=

=(x-c)(a₁+a₂(x+c)+a₃(x²+xc+c²)+…+a_n(x^n-1+x^n-2c+…+c^n-1)).

Таким образом,

f(x)-f(c)=(x-c)q(x), где q(x)=a₁+a₂(x+c)+a₃(x²+xc+c²)+… +a_n(x^n-1+x^n-2c+…+c^n-1). Следовательно, f(x)=(x-c)q(x)+f(c).

Теорема доказана.

Определение 22. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, f(x)K[x]. Элемент сK называется корнем многочлена f(x), если f(c)=0.

Следствие 14.1. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, f(x)K[x], cK. Тогда с является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится нацело на (x-c).

Доказательство. Пусть c - корень f(x) f(с)=0 f(x)=(x-c)q(x), где q(x)K[x] f(x) делится на (x-c).

Следствие доказано.

Следствие 14.2. При делении многочлена f(x) на (x-c) получается остаток r, равный f(c).