Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен , если f(x)=g(x)и обозначается или .
Определение 21. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, f(x)=a0+a1x+…+anxnK[x] (т.е. f(x)=), cK. Элемент а0+а1с+а2с2+…+аncnK называется значением многочлена f(x) в точке с (на элементе с) и обозначается f(c), то есть f(c)=.
Теорема 14 (теорема Безу). Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, f(x)K[x], cK. Тогда существует q(x)K[x]: f(x)=(x-c)q(x)+f(c).
Доказательство. Пусть f(x)=a0+a1x+…+anxnK[x]. Тогда f(c)=a0+a1c+…+ancn. Вычтем из f(x) f(c). Получим f(x)-f(c)=a1(x-c)+a2(x2-c2)+a3(x3-c3)+…+an(xn-cn)=
=(x-c)(a1+a2(x+c)+a3(x2+xc+c2)+…+an(xn-1+xn-2c+…+cn-1)).
Таким образом,
f(x)-f(c)=(x-c)q(x), где q(x)=a1+a2(x+c)+a3(x2+xc+c2)+… +an(xn-1+xn-2c+…+cn-1). Следовательно, f(x)=(x-c)q(x)+f(c).
Теорема доказана.
Определение 22. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, f(x)K[x]. Элемент сK называется корнем многочлена f(x), если f(c)=0.
Следствие 14.1. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, f(x)K[x], cK. Тогда с является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится нацело на (x-c).
Доказательство. Пусть c - корень f(x) f(с)=0 f(x)=(x-c)q(x), где q(x)K[x] f(x) делится на (x-c).
Следствие доказано.
Следствие 14.2. При делении многочлена f(x) на (x-c) получается остаток r, равный f(c).