Определение 23. Пусть , , где K – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Многочлены f и g называются алгебраически равными, если .
Определение 24. Многочлены f , gназываются функционально равными, если , т.е. значения многочленов f и g в любой точке кольца K совпадают.
Теорема 16. Пусть K – бесконечная область целостности, . Многочлены f и g алгебраически равны f и g равны функционально.
Доказательство. Необходимость. Пусть , - многочлены, равные алгебраически = f и g равны функционально.
Достаточность. Пусть f и g равны функционально, т.е. . Рассмотрим многочлен . Так как , то с – корень многочлена . Это означает, что многочлен h имеет бесконечное множество корней. С другой стороны, f и g равны алгебраически.
Теорема доказана.