Теорема о делении с остатком для многочленов.

Теорема 17. Пусть F – поле, f(x), g(x)F[x], g(x)0. Тогда существуют единственные многочлены q(x), r(x)F[x] такие, что f(x)=g(x)·q(x)+r(x), причем deg r(x)<deg g(x).

Доказательство. 1. Существование. Если f(x)=0, то q(x)=0, r(x)=0, причем deg r(x)= −< deg g(x)0. Если deg f(x)<deg g(x), то q(x)=0, r(x)=f(x), причем deg r(x)=deg f(x)<deg g(x).

Пусть f(x)0 и deg f(x)deg g(x). Пусть f(x)=a_o+a₁x+…+a_nxⁿ, g(x)=b_o+b₁x+…+b_mx^m. Тогда n≥m. Доказательство проведем методом математической индукции по параметру n.

1) Пусть n=0. Тогда f(x)=a_o и, так как n≥m, то g(x)=b_o, причем deg r(x)= −<0=deg g(x).

2) Предположим, что утверждение верно для любого многочлена степени, меньшей n.

3) Докажем утверждение для многочлена степени n.

Умножим почленно многочлен g(x)=b_o+…+b_mx^m на b_m^-1∙a_nx^n-m и вычтем из f(x)=a_o+…+a_nxⁿ . Получим:

h(x)=f(x)-g(x)∙b_m^-1∙a_nx^n-m=a_o+а₁x+…+a_nx-b₀b_m^-1a_nx^n-m-…-a_nxⁿ= a_o+а₁x+…-b₀b_m^-1a_nx^n-m-…. Таким образом, h(x) - многочлен степени, меньшей n. Следовательно, по предположению индукции, q₁(x), r₁(x)F[x]: h(x)=g(x)∙q₁(x)+r₁(x), где deg r₁(x)<deg g(x). Тогда

f(x)-g(x)=g(x)∙q₁(x)+r₁(x) и , причем deg r(x)<deg g(x).

Из 1)-3) по методу математической индукции следует, что утверждение верно для любого n∈ℕ∪{0}.

2. Единственность. Пусть f(x)=g(x)∙q₁(x)+r₁(x) (1) и f(x)=g(x)∙q₂(x)+r₂(x) (2). Покажем, что q₁=q₂, r₁=r₂. Вычтем из равенства (1) равенство (2): 0=g(x)(q₁-q₂)+(r₁-r₂) r₂-r₁=g(x)(q₁-q₂) (3).

Допустим, что q₁-q₂0. Согласно теореме 13, F[x] - область целостности. Поэтому в F[x] нет делителей нуля и из (3) следует, что . Тогда, с одной стороны,

deg(r₂-r₁), т.е. .

С другой стороны, , т.е. deg (r₂-r₁)<deg g. Противоречие. Следовательно, .

Теорема доказана.

 

 

14. Деление многочлена на (х-с).