Разложение многочлена

по степеням (х-с).

Пусть F - поле, f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+anF[x], cF. Найдем разложение многочлена f(x) по степеням (x-с), т.е. найдем представление f(x) в виде

f(x)=d0(x-c)n+d1(x-c)n-1+ d2(x-c)n-2+…+ dn -1(x-c)+dn .

Разделим f(x) на (x-c), при этом получим искомое частное q1 и остаток r0. Далее, разделим частное q1 на (x-c), при этом получим частное q2 и остаток r1, и т.д.:

Из (2) следует, что f(x)=(x-c)q1+r0=(x-c)·((x-cq1+r1))+r0=(x-c)2q2+(x-c)r1+r0 =

=(x-c)2((x-c)·q3+r2)+(x-c)·r1+r0 =(x-c)3q3+(x-c)2r2+(x-c)·r1+r0 =…=

=(x-c)n-1qn-1+(x-c)n-2rn-2+…+(x-c)2r2+(x-c)r1+r0=

=(x-c)na0+(x-c)n-1rn-1+…+(x-c)2r2+(x-c)·r1+r0.

Таким образом, f(x)=a0(x-c)n+rn-1(x-c)n-1+…+r2(x-c)2+r1(x-c)+r0 (3) - разложение f(x) по степеням (x-c). Формулу (3) удобно получать с помощью схемы Горнера.