Формальная производная многочлена. - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами. Определение 27. Пусть F - Поле, F(X)...
Определение 27. Пусть F - поле, f(x)F, f(x)=. Многочлен вида называется формальной производной многочлена f(x) и обозначается (x).
Нетрудно проверить, что формальная производная многочлена удовлетворяет следующим свойствам:
1)(f +g)=f + g;
2)(f·g)=f ·g + f ·g;
3)(k·f)=k·f ;
4)()=m·.
Замечание 10. Если степень f(x)равна n, то отсюда еще не следует, что степень f'(x)=n-1. Например, пусть F={}, f(x)=, deg f=2. Тогда f'(x)= , т.е. deg f'(x)=0. Если же в качестве F выбирается поле характеристики 0 (Сhar F=0), то из того, что deg f=n, всегда будет следовать, что deg f'=n-1. Напомним, что поле F называется полем характеристики 0, если для любого n∈ℕ n⋅e≠0, где e - единичный элемент F. Полями нулевой характеристики являются все бесконечные поля (например, ℚ, ℝ, ℂ). В дальнейшем будем рассматривать только поля нулевой характеристики.
Найдем значение многочлена f(x) и всех его производных в точке cF, т.е. найдем f(c), f (c), f (c)=(f (c))и т.д. Для этого запишем разложение многочлена f(x)по степеням (x-c):
(*) f(x) =. Тогда f(c) =,
f (x) = f (x) =,
(x)=и f''(x) =2.
Аналогично, (c)=3·2·1·, (c)=4·3·2·1·и т.д. Таким образом, !·k=(4).
Замечание 11. Подставим в формулу (*) вместо соответствующие выражения из (4): f(x)=- формула Тейлора.
В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций... На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и... Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Формальная производная многочлена.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Диаграммы Эйлера-Венна.
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо
Свойства операций над множествами.
Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А.
Теорема 1. Пусть
Бинарные отношения между множествами.
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар.
В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам
Фактормножество.
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А.
Опр
Упорядоченное множество.
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А.
Определение 31. Би
Функция как бинарное отношение.
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)
Метод математической индукции.
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв
Свойства бинарных операций.
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М
Полугруппа с сокращением.
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>.
За
Простейшие свойства групп.
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):
Подгруппа. Критерий подгруппы.
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об
Простейшие свойства колец.
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K
Простейшие свойства полей.
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия:
1) Р
Изоморфизм полей.
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т
Поля комплексных чисел.
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас
Комплексного числа.
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму
Комплексного числа.
Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).
В тригонометрической форме.
Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Доказательство. Пусть z1
Формула Муавра.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3
Формула Муавра.
Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1
Первообразные корни.
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,
Кольцо многочленов от одной переменной.
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2
Над областью целостности.
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности.
Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что
Теорема Безу. Корни многочлена.
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен
Матрица ступенчатого вида.
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:
Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса).
Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач
И их основные свойства.
1. Сложение матриц.
Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой
Матричные уравнения.
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей.
Замечание 9. Если А –
Теорема о четности перестановки.
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл
Определитель произведения матриц.
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей
F
, f(x)=
. Многочлен вида 
называется формальной производной многочлена f(x) и обозначается 
(x).
=f 
)
}, f(x)=
, deg f=2. Тогда f'(x)= 
, т.е. deg f'(x)=0. Если же в качестве F выбирается поле характеристики 0 (Сhar F=0), то из того, что deg f=n, всегда будет следовать, что deg f'=n-1. Напомним, что поле F называется полем характеристики 0, если для любого n∈ℕ n⋅e≠0, где e - единичный элемент F. Полями нулевой характеристики являются все бесконечные поля (например, ℚ, ℝ, ℂ). В дальнейшем будем рассматривать только поля нулевой характеристики.
(c)=(f 
. Тогда f(c) =
,
f 
,
(x)=
и f''(x) =2
.
(c)=3·2·1·
, 
(c)=4·3·2·1·
и т.д. Таким образом, 
!·
k=
(4).
соответствующие выражения из (4): f(x)=
- формула Тейлора.
Новости и инфо для студентов