Основная теорема алгебры.

Определение 27. Множество М называется числовым, если Мℂ.

Определение 28. Поле F называется числовым, если оно является числовым множеством, то есть если Fℂ.

Основными числовыми полями являются ℚ, ℝ, ℂ. Рассмотрим многочлены над полем ℂ.

Определение 29. Поле F называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен положительной степени под полем F имеет хотя бы один корень, принадлежащий полю F.

Теорема 18. Поле F является алгебраически замкнутым любой многочлен положительной степени над полем F разлагается на линейные множители над полем F.

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть F - алгебраически замкнутое поле, f(x)=ax+ax+...+aF[x], a≠0, deg f>0. Покажем, что f(x) разлагается на линейные множители над полем F. Так как f(x)F[x] и F - алгебраически замкнутое поле существует aF, a - корень f(x) f(x)=(x-a)·f₁(x), где f₁(x)F[x]. Если deg f (x)=0 f=bF\{0} f(x)=(x-a)·b=bx–ba - искомое разложение. Пусть deg f₁(x)>0 существует cF, c - корень f₁(x) f₁(x)=(x-c)·f₂(x), где f₂(x)F[x]. Продолжая данный процесс, через конечное число шагов получим:

f(x)=(x-c)·(x-c)·…·(x-c)· f_n, где f_n F[x]. Так как deg f = n f_n = a

f (x)=a(x-c)·(x-c)·...·(x-с) (1) - искомое разложение.

2. Достаточность. Пусть для f(x) выполняется (1) c- корень f(x), причем cF F является алгебраически замкнутым полем.

Теорема доказана.

Основная теорема алгебры устанавливает существование алгебраически замкнутых полей.

Теорема 19 (основная теорема алгебры).

Всякий многочлен положительной степени над полем ℂимеет хотя бы один комплексный корень.

Следствие 19.1. Поле ℂ является алгебраически замкнутым.

Следствие 19.2. Любой многочлен положительной степени над полем ℂ разлагается на линейные множители над полем ℂ.