Решение системы линейных уравнений. - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами. Определение 1. Система Линейных Уравнений Вида
(1) ...
Определение 1. Система линейных уравнений вида
(1) , где , поле, называется системой m линейных уравнений с n неизвестными над полем, - коэффициенты при неизвестных, , , - свободные члены системы (1).
Определение 2.Упорядоченная n-ка (), где , называется решением системы линейных уравнений (1), если при замене переменной на каждое уравнение системы (1) превращается в верное числовое равенство.
Определение 3.Система линейных уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система (1) называется несовместной.
Определение 4.Система линейных уравнений (1) называется определенной, если она имеет единственное решение. В противном случае система (1) называется неопределенной.
Система линейных уравнений
(есть решение) (нет решений)
совместнаянесовместная
(единственное решение) (не единственное решение)
определеннаянеопределенная
Определение 5. Система линейных уравнений над полем Р называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю. В противном случае система называется неоднородной.
Рассмотрим систему линейных уравнений (1). Тогда однородная система вида называется однородной системой, ассоциированной с системой (1). Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как всегда имеет решение .
Для каждой системы линейных уравнений можно ввести в рассмотрение две матрицы - основную и расширенную.
Определение 6.Основной матрицей системы линейных уравнений (1) называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных следующего вида: .
Определение 7.Расширенной матрицей системы линейных уравнений (1) называется матрица , полученная из матрицы путем присоединения к ней столбца свободных членов:
.
Определение 8. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие:
1) умножение обеих частей некоторого уравнения системы на скаляр ;
2) прибавление к обеим частям одного уравнения системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на элемент ;
3) добавление или отбрасывание уравнения вида .
Определение 9. Две системы линейных уравнений над полем Р относительно переменных называются равносильными, если их множества решений совпадают.
Теорема 1.Если одна система линейных уравнений получена из другой с помощью элементарных преобразований, то такие системы равносильны.
Замечание 1. Удобно элементарные преобразования применять не к системе линейных уравнений, а к ее расширенной матрице.
В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций... На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и... Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Решение системы линейных уравнений.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Диаграммы Эйлера-Венна.
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо
Свойства операций над множествами.
Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А.
Теорема 1. Пусть
Бинарные отношения между множествами.
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар.
В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам
Фактормножество.
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А.
Опр
Упорядоченное множество.
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А.
Определение 31. Би
Функция как бинарное отношение.
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)
Метод математической индукции.
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв
Свойства бинарных операций.
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М
Полугруппа с сокращением.
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>.
За
Простейшие свойства групп.
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):
Подгруппа. Критерий подгруппы.
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об
Простейшие свойства колец.
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K
Простейшие свойства полей.
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия:
1) Р
Изоморфизм полей.
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т
Поля комплексных чисел.
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас
Комплексного числа.
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму
Комплексного числа.
Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).
В тригонометрической форме.
Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Доказательство. Пусть z1
Формула Муавра.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3
Формула Муавра.
Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1
Первообразные корни.
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,
Кольцо многочленов от одной переменной.
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2
Над областью целостности.
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности.
Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что
Теорема Безу. Корни многочлена.
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен
Основная теорема алгебры.
Определение 27. Множество М называется числовым, если Мℂ.
Определение 28. Поле
Матрица ступенчатого вида.
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:
Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса).
Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач
И их основные свойства.
1. Сложение матриц.
Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой
Матричные уравнения.
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей.
Замечание 9. Если А –
Теорема о четности перестановки.
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл
Определитель произведения матриц.
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей
, где 
, 
поле, называется системой m линейных уравнений с n неизвестными 
над полем 
, 
- коэффициенты при неизвестных, 
, 
, 
- свободные члены системы (1).
), где 
, называется решением системы линейных уравнений (1), если при замене переменной 
на 
каждое уравнение системы (1) превращается в верное числовое равенство.
Система линейных уравнений
совместнаянесовместная
называется однородной системой, ассоциированной с системой (1). Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как всегда имеет решение 
.
.
, полученная из матрицы 
путем присоединения к ней столбца свободных членов:
.
;
;
.
называются равносильными, если их множества решений совпадают.
Новости и инфо для студентов