рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Метод последовательного исключения неизвестных

Метод последовательного исключения неизвестных - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами (Метод Гаусса). Рассмотрим Один Из Основных Методов...

(метод Гаусса).

Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или иначе, методом Гаусса. Рассмотрим систему (1) m линейных уравнений с n неизвестными над полем Р:

(1) .

В системе (1) хотя бы один из коэффициентов при не равен 0. В противном случае (1) - система уравнений с () неизвестными - это противоречит условию. Поменяем местами уравнения так, чтобы коэффициент при в первом уравнении был не равен 0. Таким образом, можно считать, что . Умножим обе части первого уравнения на и прибавим к соответствующим частям второго, третьего, …, m-го уравнений соответственно. Получим систему вида: , где s - наименьшее число, такое что хотя бы один из коэффициентов при не равен 0. Поменяем местами уравнения так, чтобы во второй строке коэффициент при переменной был не равен 0, т.е. можем считать, что . Тогда умножим обе части второго уравнения на и прибавим к соответствующим частям третьего, …, m-го уравнений соответственно. Продолжая этот процесс, получим систему вида:

- система линейных уравнений, которая, согласно теореме 1, равносильна системе (1). Система называется ступенчатой системой линейных уравнений. Возможны два случая:

1) Хотя бы один из элементов не равен 0. Пусть, например, . Тогда в системе линейных уравнений есть уравнение вида , что невозможно. Это означает, что система не имеет решений, и поэтому система (1) не имеет решений (в этом случае (1) - несовместная система).

2) Пусть ,…, . Тогда с помощью элементарного преобразования З) получим систему - систему r линейных уравнений с n неизвестными. При этом переменные при коэффициентах называются главными переменными (это ), их всего r. Остальные (n-r) переменных называют свободными.

Замечание 4. На практике в качестве свободных часто выбирают произвольно (n-r) переменных, а остальные являются главными.

Возможны два случая:

1) Если r=n, то - система треугольного вида. В этом случае из последнего уравнения находим переменную , из предпоследнего - переменную ,…, из первого уравнения - переменную . Таким образом, получаем единственное решение системы линейных уравнений , а значит, и системы линейных уравнений (1) (в этом случае система (1) определена).

2) Пусть r<n. В этом случае главные переменные выражают через свободные и получают общее решение системы линейных уравнений (1). Придавая свободным переменным произвольные значения, получают различные частные решения системы линейных уравнений (1) (в этом случае система (1) неопределена).

Замечание 5. При решении системы линейных уравнений методом Гаусса элементарные преобразования производят не над системой, а над её расширенной матрицей.

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса

1. Составить расширенную матрицу системы линейных уравнений (1) и с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатому виду.

2. Провести исследование: а) если , то система (1) несовместна;

б) если , то система (1) совместна.

При этом если r=n, то система (1) определена,

если r<n, то система (1) неопределена.

3. Найти решение системы, соответствующей полученной ступенчатой матрице.

Замечание 6. () – ранг матрицы (), равен числу ненулевых строк в матрице после приведения ее к ступенчатому виду.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами

В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций.. На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и.. Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод последовательного исключения неизвестных

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Диаграммы Эйлера-Венна.
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо

Свойства операций над множествами.
  Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А. Теорема 1. Пусть

Прямое (декартово) произведение множеств.
Определение 11. Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество, обозначаемое AB (читается

Бинарные отношения между множествами.
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар. В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам

Фактормножество.
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А. Опр

Упорядоченное множество.
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А. Определение 31. Би

Функция как бинарное отношение.
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)

Теорема об ассоциативности произведения функций.
Определение 50. Пусть f: XY, g: YZ - функции. Произведением

Обратимое отображение.
Определение 52. Отображение называется тождественным (или единичным), если

Критерий обратимости функции.
Теорема 5. Пусть - функция. Функция f обратима f - биек

Метод математической индукции.
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв

Свойства бинарных операций.
    Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М

Полугруппа с сокращением.
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>. За

Простейшие свойства групп.
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

Подгруппа. Критерий подгруппы.
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об

Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
Теорема 8. Пусть {Hi | i∈I} – некоторая совокупность подгрупп группы G. Тогда A=я

Простейшие свойства колец.
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак

Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K

Простейшие свойства полей.
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия: 1) Р

Изоморфизм полей.
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т

Поля комплексных чисел.
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас

Комплексного числа.
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму

Комплексного числа.
  Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).

В тригонометрической форме.
  Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Доказательство. Пусть z1

Формула Муавра.
  Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3

Формула Муавра.
  Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1

Первообразные корни.
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,

Кольцо многочленов от одной переменной.
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2

Свойства степени многочлена.
Определение 19. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, (

Над областью целостности.
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности. Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что

Теорема Безу. Корни многочлена.
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен

Многочлена над областью целостности.
  Теорема 15. Пусть K – область целостности, f(x)=а0+а1х+а2х2+…+аnxn

Равенство многочленов.
Определение 23. Пусть ,

Теорема о делении с остатком для многочленов.
Теорема 17. Пусть F – поле, f(x), g(x)F[x], g(x)

Разложение многочлена
по степеням (х-с). Пусть F - поле, f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+a

Формальная производная многочлена.
Определение 27. Пусть F - поле, f(x)F, f(x

Основная теорема алгебры.
Определение 27. Множество М называется числовым, если Мℂ. Определение 28. Поле

Решение системы линейных уравнений.
Определение 1. Система линейных уравнений вида (1) , где

Матрица ступенчатого вида.
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:

И их основные свойства.
1. Сложение матриц. Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой

Матричные уравнения.
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей. Замечание 9. Если А –

Теорема о четности перестановки.
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл

Определители второго и третьего порядков.
Пусть А=- матрица n-го порядка над полем Р. Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произ

Связь алгебраических дополнений с минорами.
Пусть Δ = = . Определение 31. Если в определителе Δ сгр

Определитель произведения матриц.
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей

Формула для вычисления обратной матрицы.
Теорема 10. Пусть A=- матрица n-го порядка над полем P. Если определитель

Формулы Крамера.
Теорема 11. Пусть (1) - система n линейных уравнений с n неизвестными над полем P, А=

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги